COURS 11
Espaces vectoriels
Exemple :
Dansl ’espace vectoriel R
R
, l’ensemble des fonctions polynomiales est
Vect({x
→ x
n
, n ∈ N}).
Ainsi, pour montrerqu’une partie d’un espace vectoriel estunsous-espace vectoriel,
on pourra souvent montrer que c’est l’ensemble des combinaisons linéaires des
éléments d’unefamille donnée.
Par exemple, si F = {(x, y, z) ∈ R
3
, x + y + z = 0}, un élément( x , y , z )d e
R
3
appartient à F si et seulement s’ils’écrit :
(x, y, z) = (x, y, −x − y) = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1)
d’où F = Vect(u, v), où u = (1, 0, −1) et v = (0, 1, −1)). F est donc un
sous-espacevectoriel de R
3
.
2.4 • Somme de deuxsous-espaces vectoriels
Soit E un K-espace vectoriel.Onappelle sommededeux sous-espaces vectoriels
F et G de E, le sous-espace vectoriel de E engendré par leur réunion :
F + G = Vect(F ∪ G)
La somme d’un élément quelconque de F et d’un élément quelconque de G est
élémentde F+G. Comme l’ensemble de toutes ces sommes estunsous-espace
vectoriel, c’est nécessairement le plus petit contenant F ∪ G ;d ’où :
F + G = {x ∈ E , ∃(x 1 , x 2 ) ∈ F × Gx = x 1 + x 2 }
F + G est l’ensemble des vecteurs de E qui peuventsedécomposer en la somme
d’un vecteur de F et d’unvecteur de G.
Pour s’entraîner:ex. 8
2.5 • Sous-espaces supplémentaires
Doc. 2 Dans l’espace de dimension 3,
un plan vectoriel et unedroite vectorielle
non parallèles sont supplémentaires.
Soit E un K-espace vectoriel. Deux sous-espaces vectoriels F et G sont dits
supplémentaires si toutvecteur de E peut se décomposer de façonunique en la
somme d’un vecteur de F et d’un vecteurde G (Doc. 2).
Théorème 3
Lessous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires si et seulement
si :
F + G = E
et
F ∩ G = {0 E }
Démonstration
1) Si F et G sont supplémentaires, tout vecteur de E est la somme d’un vecteur
de F et d’un vecteurd e G, donc F + G = E. Soit x ∈ F ∩ G ;o np eut
écrire : x = x +0 E (x ∈ F, 0 E ∈ G)e tx=0 E + x (0 E ∈ F , x ∈ G).
Du faitd el ’unicité de la décomposition, on peut conclure que x = 0 E ;d onc
F ∩ G = {0 E }.
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