Espaces vectoriels
COURS
11
Démonstration
1) Si F est un sous-espace vectoriel de E, il est nonvide car c’est un sous-groupe
de (E, +) (il contient 0 E ). Il est stable par +e t ·,donc par combinaison
linéaire.
2) Si F estnon vide et stable par combinaison linéaire, en particulier :
• ∀(x, y) ∈ F
2
x − y ∈ F : F est donc un sous-groupe de (E, +) ;c’est donc
un groupe abélien.
• F est stable par +e t · et les propriétés 1. 2. 3. 4. de la multiplication
externede E s’étendent, en particulier,àla multiplication induite dans F .
F est donc bien un sous-espace vectoriel de E.
IMPORTANT
Pour montrerque F
= ∅, on aintérêt àmontrer que0 E∈ F ,car si ce
n’estp as vrai, F n’estc ertainement
pas un sous-espace vectorielde E et
il est inutile de poursuivre la démonstration.
IMPORTANT
Pourmontrer qu’un ensemble E est
un espace vectoriel, on pourra souvent
montrerque c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectorieldéjà connu
que l’on précisera.
Exemples :
• Pour tout espacevectoriel E, {0 E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
• L’ensemble des vecteurs d’une droite estunsous-espace vectoriel de l’ensemble
des vecteurs du plan.
• L’ensemble des fonctionscontinues est un sous-espace vectoriel de R
R
.
• L’ensemble des suites arithmétiques estunsous-espace vectoriel de R
N
.
Pour s’entraîner :ex. 4à6
2.3• Sous-espace vectoriel engendré par une partie
IMPORTANT
En revanche,u ne réunion de sousespaces vectoriels n’est pas, en général, un sous-espace vectoriel (cf. exercice 7).
Commençonspar remarquer le résultat suivant :
Théorème 2
L’intersection d’unefamille quelconque de sous-espaces vectoriels d’un K-espace
vectoriel estunsous-espace vectoriel.
Démonstration
Soit (F i ) i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, et F l’intersection de
cette famille (c’est-à-dire l’ensemble des éléments appartenant àtous les F i ).
∀i ∈ I 0 E ∈ F i , donc 0 E ∈ F , F est donc nonvide.
De plus, si x et y sont deux éléments quelconques de F , et α et β deux
scalaires, ∀i ∈ Ix ∈ F i ,y ∈ F i , donc αx + βy ∈ F i et,p ar conséquent,
αx + βy ∈ F .
F est stablepar combinaison linéaire. F est donc un sous-espacevectoriel de E.
x 3
x 1
x 2
Ve ct( ,,)
xxx 123
x 1 + x 2 +
3
2
x 3
Doc. 1 Sous-espacevectoriel engendré
par trois vecteurs coplanaires.
Soit,maintenant, X une partie quelconque d’un espace vectoriel E. On appelle
sous-espace vectoriel engendré par X l’intersection de tous les sous-espaces
vectorielsde E contenant X (Doc. 1).
Il est clair que c’est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant X . On le
note Vect(X ).
Commei le st stable par combinaison linéaire, Vect(X )c ontient toute combinaison linéaire des éléments de X . Or, l’ensemble de toutes ces combinaisons
linéaires estc lairement un sous-espace vectoriel de E ;c ’est donc le plus petit
contenant X . On obtient ainsi une caractérisation de Vect(X ), souvent plus
pratique que la définition :
Vect(X )est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
201
COURS
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Démonstration
1) Si F est un sous-espace vectoriel de E, il est nonvide car c’est un sous-groupe
de (E, +) (il contient 0 E ). Il est stable par +e t ·,donc par combinaison
linéaire.
2) Si F estnon vide et stable par combinaison linéaire, en particulier :
• ∀(x, y) ∈ F
2
x − y ∈ F : F est donc un sous-groupe de (E, +) ;c’est donc
un groupe abélien.
• F est stable par +e t · et les propriétés 1. 2. 3. 4. de la multiplication
externede E s’étendent, en particulier,àla multiplication induite dans F .
F est donc bien un sous-espace vectoriel de E.
IMPORTANT
Pour montrerque F
= ∅, on aintérêt àmontrer que0 E∈ F ,car si ce
n’estp as vrai, F n’estc ertainement
pas un sous-espace vectorielde E et
il est inutile de poursuivre la démonstration.
IMPORTANT
Pourmontrer qu’un ensemble E est
un espace vectoriel, on pourra souvent
montrerque c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectorieldéjà connu
que l’on précisera.
Exemples :
• Pour tout espacevectoriel E, {0 E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
• L’ensemble des vecteurs d’une droite estunsous-espace vectoriel de l’ensemble
des vecteurs du plan.
• L’ensemble des fonctionscontinues est un sous-espace vectoriel de R
R
.
• L’ensemble des suites arithmétiques estunsous-espace vectoriel de R
N
.
Pour s’entraîner :ex. 4à6
2.3• Sous-espace vectoriel engendré par une partie
IMPORTANT
En revanche,u ne réunion de sousespaces vectoriels n’est pas, en général, un sous-espace vectoriel (cf. exercice 7).
Commençonspar remarquer le résultat suivant :
Théorème 2
L’intersection d’unefamille quelconque de sous-espaces vectoriels d’un K-espace
vectoriel estunsous-espace vectoriel.
Démonstration
Soit (F i ) i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, et F l’intersection de
cette famille (c’est-à-dire l’ensemble des éléments appartenant àtous les F i ).
∀i ∈ I 0 E ∈ F i , donc 0 E ∈ F , F est donc nonvide.
De plus, si x et y sont deux éléments quelconques de F , et α et β deux
scalaires, ∀i ∈ Ix ∈ F i ,y ∈ F i , donc αx + βy ∈ F i et,p ar conséquent,
αx + βy ∈ F .
F est stablepar combinaison linéaire. F est donc un sous-espacevectoriel de E.
x 3
x 1
x 2
Ve ct( ,,)
xxx 123
x 1 + x 2 +
3
2
x 3
Doc. 1 Sous-espacevectoriel engendré
par trois vecteurs coplanaires.
Soit,maintenant, X une partie quelconque d’un espace vectoriel E. On appelle
sous-espace vectoriel engendré par X l’intersection de tous les sous-espaces
vectorielsde E contenant X (Doc. 1).
Il est clair que c’est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant X . On le
note Vect(X ).
Commei le st stable par combinaison linéaire, Vect(X )c ontient toute combinaison linéaire des éléments de X . Or, l’ensemble de toutes ces combinaisons
linéaires estc lairement un sous-espace vectoriel de E ;c ’est donc le plus petit
contenant X . On obtient ainsi une caractérisation de Vect(X ), souvent plus
pratique que la définition :
Vect(X )est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
201