COURS 11
Espaces vectoriels
1.3 • Premières propriétés
Soit E un K-espace vectoriel. Le lecteur déduira facilement les propriétés suivantes
des définitions données au §1.1. :
1)
∀x ∈ E 0 K · x = 0 E
2)
∀α ∈ K α · 0 E = 0 E
3)
∀(α, x) ∈ K × E
α · x = 0 E ⇒ α = 0 K ou x = 0 E
4)
∀x ∈ E (−1) · x = −x
5)
∀(α, β) ∈ K
2
∀x ∈ E (α − β) · x = α · x − β · x
6)
∀α ∈ K ∀(x, y) ∈ E
2
α · (x − y) = α · x − α · y
1.4 • Combinaison linéaire
IMPORTANT
Pour simplifier lesnotations, la multiplication externed’un espace vectoriel
sera désormais notée de façon multiplicative, sans symbole particulier :on
écrira αx au lieu de α · x.
Soit E un K-espacevectoriel et (x 1 , x 2 , ··· ,x n )u ne famille finie de vecteurs de
E. On appelle combinaison linéaire des éléments de cette famille tout vecteur
x de E qui peuts’écrire sous la forme :
x =
n
i=1
α i · x i où (α 1 , α 2 , ··· ,α n ) ∈ K
n
Plus généralement, on appelle combinaison linéaire d’une famille quelconque toute
combinaison linéaire d’unesous-famille finie.
2 Sous-espaces vectoriels
2.1 • Définition
Soit E un K-espace vectoriel.O na ppelle sous-espace vectoriel de E (en
abrégé s.e.v.)t oute partie F de E stable par +e t · (c’est-à-dire telle que :
∀(x, y) ∈ F
2
x + y ∈ F et ∀α ∈ K ∀x ∈ F αx ∈ F )e tqui, munie des lois
induites, est encore un K-espace vectoriel.
2.2 • Caractérisation
Théorème 1
Une partie F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si
et seulement si :
• F est nonvide ;
• F est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire que :
∀(α, β) ∈ K
2
∀(x, y) ∈ F
2
αx + βy ∈ F
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