Espaces vectoriels
COURS
11
1 Structured’espace vectoriel
1.1 • Définition
IMPORTANT
Les éléments de K sont appelés scalaires,ceux de E vecteurs.
IMPORTANT
S’il n’yap as d’ambiguïté, l’espace
vectoriel sera noté E au lieu de
(E, +, · ).
Soit K le corpscommutatif, R ou C.Onappelle espace vectoriel sur K (en abrégé
K-espace vectoriel) un ensemble E muni de deux lois :
• Une loi interne, notée +, telle que (E, +) soit un groupe abélien.
L’élément nul sera noté 0 E .
• Une loi externe, notée · ,application de K × E dans E, telleque :
EV 1. ∀(α, β) ∈ K
2
∀x ∈ E (α + β) · x = α · x + β · x
EV 2. ∀α ∈ K
∀(x, y) ∈ E
2 α · (x + y) = α · x + α · y
EV 3. ∀(α, β) ∈ K
2
∀x ∈ E α · (β · x) = (αβ) · x
EV 4. ∀x ∈ E
1 · x = x
(1 désignel’élément unité du corps K).
Pour s’entraîner:ex. 2et3
1.2• Exemples
• Lesvecteurs du plan de la géométrie usuelle forment un espace vectoriel sur R,
qui sert de modèle àcette structure. On se servira souvent de ce modèle pour
représenter géométriquement un espace vectoriel quelconque.
• Le corps K lui-même estmuni d’une structure de K-espace vectoriel en prenant
la multiplication interne comme loi externe.
• Le corps K est aussi un espace vectoriel sur un de ses sous-corps K
, en prenant
comme loi externe l’application :
K
× K → K
(α, x)
→ αx
Il ne fautp as confondre cette structure avec la précédente. Ainsi C peut être
muni d’une structure de C-espace vectoriel ou de R-espace vectoriel, mais ces
deux espaces vectoriels sont bien différents (nous verrons, par exemple, dans le
chapitre suivant, qu’ils n’ontpas la même dimension).
• Le produitc artésien de deux K-espaces vectoriels E et F est muni d’une
structure de K-espace vectoriel grâce aux deux lois :
(x 1 , y 1 )+(x 2 ,y 2 )=(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 )e tα · ( x , y ) = ( α · x , α · y )
On peut généraliser au produit d’une famille finie de K-espacesvectoriels. Par
exemple, pour tout n ∈ N
∗
, K
n
est un K-espace vectoriel.
• L’ensemble E
X
des applicationsd ’un ensemble X quelconque dans un Kespace vectoriel E est muni d’une structure de K-espace vectoriel grâce aux
deux lois :
E
X
× E
X
→ E
X
( f , g)
→ f + g
définiepar : ∀x ∈ X ( f + g)(x) = f (x)+g(x)
K·E
X
→ E
X
(α,f) → α · f
définiepar : ∀x ∈ X (α · f )(x) = α · f (x)
Pare xemple, les ensembles R
N
(suites réelles), C
N
(suitesc omplexes), R
R
(fonctions numériques d’une variable réelle), sont des espaces vectoriels.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
199
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1.1 • Définition
IMPORTANT
Les éléments de K sont appelés scalaires,ceux de E vecteurs.
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S’il n’yap as d’ambiguïté, l’espace
vectoriel sera noté E au lieu de
(E, +, · ).
Soit K le corpscommutatif, R ou C.Onappelle espace vectoriel sur K (en abrégé
K-espace vectoriel) un ensemble E muni de deux lois :
• Une loi interne, notée +, telle que (E, +) soit un groupe abélien.
L’élément nul sera noté 0 E .
• Une loi externe, notée · ,application de K × E dans E, telleque :
EV 1. ∀(α, β) ∈ K
2
∀x ∈ E (α + β) · x = α · x + β · x
EV 2. ∀α ∈ K
∀(x, y) ∈ E
2 α · (x + y) = α · x + α · y
EV 3. ∀(α, β) ∈ K
2
∀x ∈ E α · (β · x) = (αβ) · x
EV 4. ∀x ∈ E
1 · x = x
(1 désignel’élément unité du corps K).
Pour s’entraîner:ex. 2et3
1.2• Exemples
• Lesvecteurs du plan de la géométrie usuelle forment un espace vectoriel sur R,
qui sert de modèle àcette structure. On se servira souvent de ce modèle pour
représenter géométriquement un espace vectoriel quelconque.
• Le corps K lui-même estmuni d’une structure de K-espace vectoriel en prenant
la multiplication interne comme loi externe.
• Le corps K est aussi un espace vectoriel sur un de ses sous-corps K
, en prenant
comme loi externe l’application :
K
× K → K
(α, x)
→ αx
Il ne fautp as confondre cette structure avec la précédente. Ainsi C peut être
muni d’une structure de C-espace vectoriel ou de R-espace vectoriel, mais ces
deux espaces vectoriels sont bien différents (nous verrons, par exemple, dans le
chapitre suivant, qu’ils n’ontpas la même dimension).
• Le produitc artésien de deux K-espaces vectoriels E et F est muni d’une
structure de K-espace vectoriel grâce aux deux lois :
(x 1 , y 1 )+(x 2 ,y 2 )=(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 )e tα · ( x , y ) = ( α · x , α · y )
On peut généraliser au produit d’une famille finie de K-espacesvectoriels. Par
exemple, pour tout n ∈ N
∗
, K
n
est un K-espace vectoriel.
• L’ensemble E
X
des applicationsd ’un ensemble X quelconque dans un Kespace vectoriel E est muni d’une structure de K-espace vectoriel grâce aux
deux lois :
E
X
× E
X
→ E
X
( f , g)
→ f + g
définiepar : ∀x ∈ X ( f + g)(x) = f (x)+g(x)
K·E
X
→ E
X
(α,f) → α · f
définiepar : ∀x ∈ X (α · f )(x) = α · f (x)
Pare xemple, les ensembles R
N
(suites réelles), C
N
(suitesc omplexes), R
R
(fonctions numériques d’une variable réelle), sont des espaces vectoriels.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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