Structures algébriques usuelles
EXERCICES
10
Montrer que (R, ∗)e st isomorphe à( R , +). En déduire
que (R, ∗)e st un groupe abélien.
13 Soit G un groupe noté multiplicativement et a un
élément de G.
On désignepar f a l’application:
G →
f a
G
x → axa
−1
1) Démontrer que f a est un automorphismed e G. On
l’appelle automorphisme intérieur ;o nd ésigne par Int G
l’ensembledes automorphismes intérieurs de G.
2) Démontrer que l’application :
G →
ϕ Aut G
a
→
f a
est
un morphisme de groupes, dont on déterminera l’image et
le noyau.
3) En déduire que Int G est un groupe pour la composition
des applications.
Anneaux–corps
14 Soit A un anneau.Unélément x de A est dit nilpotent si :
∃n ∈ N x
n
= 0
1) Démontrerque, si xy est nilpotent, yx l’est aussi.
2) Démontrerque, si x et y sont deux éléments nilpotents
qui commutent, alors xy et x + y sont nilpotents.
3) Soit x un élément nilpotent. Démontrer que 1 − x est
inversible et calculer son inverse.
15 Soit A un anneau telque ∀x ∈ Ax
2
= x .
1) Démontrer que ∀x ∈ Ax + x = 0 .
2) Démontrer que l’anneau A est commutatif.
Anneau des entiers relatifs
16 Trouver deux entiers positifs a et b sachant que
a < 4000 et que la division euclidienne de a par b
donne un quotient de 82 et un reste de 47.
17 On divise deux entiers a et b par leur différence
a − b.
Comparer les quotients et les restes obtenus.
18 Soit a, b, n troisentiers tels que a 1, b 1e t
n0 .On note q le quotient de la division euclidienne
de a − 1p ar b .
Trouver le quotient de la division euclidienne de ab
n
−1
par b
n+1
.
19 Lese ntiers 11, 111, 1111, 11111, 111111,
1111111s ont-ils premiers ?
20 Soit n un entier supérieur ou égal à2.
Démontrer qu’aucun des entiers successifs de n!+2 à n!+n
n’est premier. Comment obtenir n entiers consécutifs non
premiers ?
Donner cinq entiers naturels consécutifs non premiers les
plus petits possibles.
Exerciceposé aux oraux des concours
21 (CCP 2006)
Soit( G , × )u ng roupe tel qu’il existe un entier n ∈ N
∗
pour lequel on a:
∀k∈{n−1,n,n+1}∀ ( x , y ) ∈ G
2
( xy)
k
= x
k
y
k
Montrerque le groupe G estabélien.
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EXERCICES
10
Montrer que (R, ∗)e st isomorphe à( R , +). En déduire
que (R, ∗)e st un groupe abélien.
13 Soit G un groupe noté multiplicativement et a un
élément de G.
On désignepar f a l’application:
G →
f a
G
x → axa
−1
1) Démontrer que f a est un automorphismed e G. On
l’appelle automorphisme intérieur ;o nd ésigne par Int G
l’ensembledes automorphismes intérieurs de G.
2) Démontrer que l’application :
G →
ϕ Aut G
a
→
f a
est
un morphisme de groupes, dont on déterminera l’image et
le noyau.
3) En déduire que Int G est un groupe pour la composition
des applications.
Anneaux–corps
14 Soit A un anneau.Unélément x de A est dit nilpotent si :
∃n ∈ N x
n
= 0
1) Démontrerque, si xy est nilpotent, yx l’est aussi.
2) Démontrerque, si x et y sont deux éléments nilpotents
qui commutent, alors xy et x + y sont nilpotents.
3) Soit x un élément nilpotent. Démontrer que 1 − x est
inversible et calculer son inverse.
15 Soit A un anneau telque ∀x ∈ Ax
2
= x .
1) Démontrer que ∀x ∈ Ax + x = 0 .
2) Démontrer que l’anneau A est commutatif.
Anneau des entiers relatifs
16 Trouver deux entiers positifs a et b sachant que
a < 4000 et que la division euclidienne de a par b
donne un quotient de 82 et un reste de 47.
17 On divise deux entiers a et b par leur différence
a − b.
Comparer les quotients et les restes obtenus.
18 Soit a, b, n troisentiers tels que a 1, b 1e t
n0 .On note q le quotient de la division euclidienne
de a − 1p ar b .
Trouver le quotient de la division euclidienne de ab
n
−1
par b
n+1
.
19 Lese ntiers 11, 111, 1111, 11111, 111111,
1111111s ont-ils premiers ?
20 Soit n un entier supérieur ou égal à2.
Démontrer qu’aucun des entiers successifs de n!+2 à n!+n
n’est premier. Comment obtenir n entiers consécutifs non
premiers ?
Donner cinq entiers naturels consécutifs non premiers les
plus petits possibles.
Exerciceposé aux oraux des concours
21 (CCP 2006)
Soit( G , × )u ng roupe tel qu’il existe un entier n ∈ N
∗
pour lequel on a:
∀k∈{n−1,n,n+1}∀ ( x , y ) ∈ G
2
( xy)
k
= x
k
y
k
Montrerque le groupe G estabélien.
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