Exercices
1 Vraioufaux ?
a) 0est élément neutre de la soustraction dans Z.
b) (Z, ×)e st un groupe abélien.
c) N est un sous-groupe de (Z, +).
d) Le noyau d’un morphisme de groupe estl es ingleton
{e}.
e) Tousl es éléments d’un anneau sont réguliers pour les
deux opérations.
f)Tous les éléments d’un anneau sont inversibles.
g) Un diviseur de zéro d’un anneau n’est jamais inversible.
h) (Q, +, ×)e st un corps commutatif.
i) La somme de deuxd iviseurs d’un entier est un diviseur
de cet entier.
j) Tout diviseur de deux entierse st un diviseur de leur
somme.
k) Deux nombres premiers distincts n’ont pas de diviseurs
communs.
Lois de composition interne
2 Étudier les propriétés (commutativité, associativité,
élémentn eutre, symétrique d’un élément,...) des l.c.i. ∩,
∪ et dans P(E).
3 Soit E un ensemble muni de deux l.c.i. ◦ et ∗ admettantd es éléments neutres respectifs e et f , et telles
que :
∀(x, y, u, v) ∈ E
4
(x ∗ y)◦ (u ∗ v) = (x ◦ u) ∗ (y ◦ v)
Montrer que : 1) e = f ;
2) ◦ = ∗ ;
3) ∗ estassociative et commutative.
4 Soit E et F deux ensembles non vides et ∗ une l.c.i.
sur F . On définit, dans l’ensemble F
E
des applications
de E dans F , la l.c.i. T par :
∀(f , g) ∈ (F
E
)
2
∀x ∈ E (fTg )(x) = f (x) ∗ g(x)
1) Montrerque, si ∗ est commutative,ilenest de même
de T .
2) Montrerq ue, si ∗ est associative, il en est de même
de T .
3) Montrer que, si ∗ admet un élément neutre e, il en est
de même de T .
Donner des exemples.
Groupes
5 On définit sur R la l.c.i. ∗ par a ∗ b = a + b − ab.
1) (R, ∗)e st-il un groupe ?
2) Déterminer un sous-ensemble de R qui soitu ng roupe
pour la loi ∗.
6 On définit dans R
2
la l.c.i. ∗ par :
(x, y) ∗ (x
, y
) = (x + x
, ye
x
+ y
e
−x
)
Démontrer que (R
2
, ∗)e st un groupe. Est-il abélien ?
7 Montrer que l’ensemble des éléments d’un groupe
qui commutent avec tous les autres est un sous-groupe. On
l’appelle centre du groupe.
8 Montrer que l’ensemble {z ∈ C , ∃n ∈ N
∗
z
n
= 1}
est un sous-groupe de (C
∗
, ×).
9 Soit G un groupe noté multiplicativement, H un
sous-groupede G et a un élément quelconque de G.
Montrerque a
−1
Ha est un sous groupe de G.
10 On considère les applications suivantes de R\{0, 1}
dans lui-même :
f 1 : x
→ x ; f 2 : x
→ 1 − x ; f 3 : x
→
1
1 − x
;
f 4 : x
→
1
x
; f 5 : x
→
x
x − 1
; f 6 : x
→
x − 1
x
.
Montrerq ue G = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 } est un groupe
pour la composition des applications.Déterminer tous ses
sous-groupes. Quel estl ep lus petit sous-groupe de G
contenant f 2 ? f 3 ? f 2 et f 3 ?
Morphismes
11 Soit G et G
deux groupes notés multiplicativement
et f un morphisme de G dans G
. Montrerque l’image
par f d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G
et que l’image réciproque d’un sous-groupe de G
estun
sous-groupe de G. Retrouverles cas particuliers de l’image
et du noyau de f .
12 On munit R de la l.c.i. définie par :
a ∗ b =
3
√ a 3 + b 3
196
1 Vraioufaux ?
a) 0est élément neutre de la soustraction dans Z.
b) (Z, ×)e st un groupe abélien.
c) N est un sous-groupe de (Z, +).
d) Le noyau d’un morphisme de groupe estl es ingleton
{e}.
e) Tousl es éléments d’un anneau sont réguliers pour les
deux opérations.
f)Tous les éléments d’un anneau sont inversibles.
g) Un diviseur de zéro d’un anneau n’est jamais inversible.
h) (Q, +, ×)e st un corps commutatif.
i) La somme de deuxd iviseurs d’un entier est un diviseur
de cet entier.
j) Tout diviseur de deux entierse st un diviseur de leur
somme.
k) Deux nombres premiers distincts n’ont pas de diviseurs
communs.
Lois de composition interne
2 Étudier les propriétés (commutativité, associativité,
élémentn eutre, symétrique d’un élément,...) des l.c.i. ∩,
∪ et dans P(E).
3 Soit E un ensemble muni de deux l.c.i. ◦ et ∗ admettantd es éléments neutres respectifs e et f , et telles
que :
∀(x, y, u, v) ∈ E
4
(x ∗ y)◦ (u ∗ v) = (x ◦ u) ∗ (y ◦ v)
Montrer que : 1) e = f ;
2) ◦ = ∗ ;
3) ∗ estassociative et commutative.
4 Soit E et F deux ensembles non vides et ∗ une l.c.i.
sur F . On définit, dans l’ensemble F
E
des applications
de E dans F , la l.c.i. T par :
∀(f , g) ∈ (F
E
)
2
∀x ∈ E (fTg )(x) = f (x) ∗ g(x)
1) Montrerque, si ∗ est commutative,ilenest de même
de T .
2) Montrerq ue, si ∗ est associative, il en est de même
de T .
3) Montrer que, si ∗ admet un élément neutre e, il en est
de même de T .
Donner des exemples.
Groupes
5 On définit sur R la l.c.i. ∗ par a ∗ b = a + b − ab.
1) (R, ∗)e st-il un groupe ?
2) Déterminer un sous-ensemble de R qui soitu ng roupe
pour la loi ∗.
6 On définit dans R
2
la l.c.i. ∗ par :
(x, y) ∗ (x
, y
) = (x + x
, ye
x
+ y
e
−x
)
Démontrer que (R
2
, ∗)e st un groupe. Est-il abélien ?
7 Montrer que l’ensemble des éléments d’un groupe
qui commutent avec tous les autres est un sous-groupe. On
l’appelle centre du groupe.
8 Montrer que l’ensemble {z ∈ C , ∃n ∈ N
∗
z
n
= 1}
est un sous-groupe de (C
∗
, ×).
9 Soit G un groupe noté multiplicativement, H un
sous-groupede G et a un élément quelconque de G.
Montrerque a
−1
Ha est un sous groupe de G.
10 On considère les applications suivantes de R\{0, 1}
dans lui-même :
f 1 : x
→ x ; f 2 : x
→ 1 − x ; f 3 : x
→
1
1 − x
;
f 4 : x
→
1
x
; f 5 : x
→
x
x − 1
; f 6 : x
→
x − 1
x
.
Montrerq ue G = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 } est un groupe
pour la composition des applications.Déterminer tous ses
sous-groupes. Quel estl ep lus petit sous-groupe de G
contenant f 2 ? f 3 ? f 2 et f 3 ?
Morphismes
11 Soit G et G
deux groupes notés multiplicativement
et f un morphisme de G dans G
. Montrerque l’image
par f d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G
et que l’image réciproque d’un sous-groupe de G
estun
sous-groupe de G. Retrouverles cas particuliers de l’image
et du noyau de f .
12 On munit R de la l.c.i. définie par :
a ∗ b =
3
√ a 3 + b 3
196