Structures algébriques usuelles
Conseils
Solution
On se proposed ed éfinir par leur table
tousles groupes à1,2,3ou4éléments,
àunisomorphisme près. La construction
de la table d’ungroupe obéit àquelques
règles simples :
• Il doit yavoir un élément neutre e.
• Pour tout élément a de G, l’application x
→ a ∗ x est injective, donc
bijective ( G est fini). Il s’ensuit que
dans la ligne de a, on doit trouver
tousles éléments de G unefois et une
seule. De même pour chaque ligne et
chaque colonne de la table.
• En particulier,dans la ligne de chaque
élément on doit trouver l’élément
neutre e au niveau du symétrique de
cetélément.
• Il restel’associativité, qui n’est pas facile ài nterpréter àp artir de la table.
En fait, la simplea pplication des
règles précédentesd onne très peu de
solutions. On vérifiera quec hacune
d’entre elles estisomorphe àungroupe
existant.
1) Il n’y aé videmment qu’une seule façon de construire la table d’un
groupe àunélément :
∗ e
e e
2) Il n’y aé galement qu’une façon de remplir la table d’un groupe à2
éléments, chacun devant être son propre symétrique :
∗ e a
e e a
a a e
On peut vérifier que cettet able est celle du groupe U 2 = ({1, −1}, ×).
Pourl ac omposition des applications, tout groupe constitué de l’élément
neutre et d’un élémentinvolutif est isomorphe àc eg roupe ;p ar exemple
{Id, S}, où S est une symétrie centrale.
3) Il n’y aencore qu’une façon de remplir la table d’un groupe à3éléments ;
on s’aperçoit que les deux éléments autres que l’élément neutre ne peuvent
pas être égaux àleur propre symétrique ;ils sont donc symétriques l’un de
l’autre :
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Cettet able est celle du groupe U 3 = ({1, j, j}, ×), ou du groupe
({Id, R, R
−1
}, ◦), où R estune rotation d’angle
2π
3
.
4) Dans un groupe à4éléments G = {e, a, b, c}, il existe au moins un
élémenta utre que e qui est sonp ropre symétrique. On peut distinguer
deuxcas :
–unseul élément autre que e est sonpropre symétrique. On peut supposer
que c’est b, àunisomorphisme près. a et c sont alors symétriques l’un
de l’autre ;
–tous les éléments sont leur propre symétrique.
On obtient les deux tables suivantes :
∗ e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
La première table est celle du groupe U 4 = ({1, i, −1, −i}, ×), ou du
groupe ({Id, R, S, R
−1
}, ◦), où R est une rotation de centre O d’angle
π
2
, et S la symétrie centrale de centre O.
La seconde table est celle du groupe des isométries conservant un rectangle :
identité, symétrie centrale, deux réflexions d’axes perpendiculaires. On
l’appelle groupe de Klein.
Ces deux groupes àquatre éléments ne sont pas isomorphes, car la propriété
«être son propre symétrique »seconserve dans un isomorphisme.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
195
Conseils
Solution
On se proposed ed éfinir par leur table
tousles groupes à1,2,3ou4éléments,
àunisomorphisme près. La construction
de la table d’ungroupe obéit àquelques
règles simples :
• Il doit yavoir un élément neutre e.
• Pour tout élément a de G, l’application x
→ a ∗ x est injective, donc
bijective ( G est fini). Il s’ensuit que
dans la ligne de a, on doit trouver
tousles éléments de G unefois et une
seule. De même pour chaque ligne et
chaque colonne de la table.
• En particulier,dans la ligne de chaque
élément on doit trouver l’élément
neutre e au niveau du symétrique de
cetélément.
• Il restel’associativité, qui n’est pas facile ài nterpréter àp artir de la table.
En fait, la simplea pplication des
règles précédentesd onne très peu de
solutions. On vérifiera quec hacune
d’entre elles estisomorphe àungroupe
existant.
1) Il n’y aé videmment qu’une seule façon de construire la table d’un
groupe àunélément :
∗ e
e e
2) Il n’y aé galement qu’une façon de remplir la table d’un groupe à2
éléments, chacun devant être son propre symétrique :
∗ e a
e e a
a a e
On peut vérifier que cettet able est celle du groupe U 2 = ({1, −1}, ×).
Pourl ac omposition des applications, tout groupe constitué de l’élément
neutre et d’un élémentinvolutif est isomorphe àc eg roupe ;p ar exemple
{Id, S}, où S est une symétrie centrale.
3) Il n’y aencore qu’une façon de remplir la table d’un groupe à3éléments ;
on s’aperçoit que les deux éléments autres que l’élément neutre ne peuvent
pas être égaux àleur propre symétrique ;ils sont donc symétriques l’un de
l’autre :
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Cettet able est celle du groupe U 3 = ({1, j, j}, ×), ou du groupe
({Id, R, R
−1
}, ◦), où R estune rotation d’angle
2π
3
.
4) Dans un groupe à4éléments G = {e, a, b, c}, il existe au moins un
élémenta utre que e qui est sonp ropre symétrique. On peut distinguer
deuxcas :
–unseul élément autre que e est sonpropre symétrique. On peut supposer
que c’est b, àunisomorphisme près. a et c sont alors symétriques l’un
de l’autre ;
–tous les éléments sont leur propre symétrique.
On obtient les deux tables suivantes :
∗ e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
La première table est celle du groupe U 4 = ({1, i, −1, −i}, ×), ou du
groupe ({Id, R, S, R
−1
}, ◦), où R est une rotation de centre O d’angle
π
2
, et S la symétrie centrale de centre O.
La seconde table est celle du groupe des isométries conservant un rectangle :
identité, symétrie centrale, deux réflexions d’axes perpendiculaires. On
l’appelle groupe de Klein.
Ces deux groupes àquatre éléments ne sont pas isomorphes, car la propriété
«être son propre symétrique »seconserve dans un isomorphisme.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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