Structures algébriques usuelles
Pour montrerqu’un ensemble E munidedeux l.c.i. estunanneau :
• s’ils’agit de l.c.i. tout àfait nouvelles, il faut vérifier :
–q ue E muni de sa première l.c.i. estungroupe abélien ;
–q ue la deuxième l.c.i. estassociative ;
–q u’il existe un élément neutre pour la deuxième l.c.i. ;
–q ue la deuxième l.c.i. estdistributive par rapport àlapremière ;
• s’il s’agit de restrictions à E des l.c.i. d’un anneau A contenant E, il suffit de vérifier que E estu n
sous-anneau de A (voir ci-après).
Pour montrer qu’unepartie B d’un anneau A (dontles deux l.c.i. sont notées + et ×) est un sous-anneau
de A ,onmontre que :
• B contient l’élément unité de A ;
• B est stable par «soustraction »;
• B est stable par «multiplication ».
Pour montrerqu’un anneau A est un corps,onmontre que tout élément non nul de A est inversible.
Pour exprimer la division euclidienne de l’entier a par l’entiernon nul b ,onécrit :
a = bq + r avec0 r < | b |
(cf. exercices 16 à 18) .
...................................................................................................................................................................................................
Exercice résolu
GROUPES DE CARDINALINFÉRIEUR OU ÉGAL À4
Trouver, àunisomorphisme près, tous les groupes de cardinal inférieur ou égal à4.
194
Pour montrerqu’un ensemble E munidedeux l.c.i. estunanneau :
• s’ils’agit de l.c.i. tout àfait nouvelles, il faut vérifier :
–q ue E muni de sa première l.c.i. estungroupe abélien ;
–q ue la deuxième l.c.i. estassociative ;
–q u’il existe un élément neutre pour la deuxième l.c.i. ;
–q ue la deuxième l.c.i. estdistributive par rapport àlapremière ;
• s’il s’agit de restrictions à E des l.c.i. d’un anneau A contenant E, il suffit de vérifier que E estu n
sous-anneau de A (voir ci-après).
Pour montrer qu’unepartie B d’un anneau A (dontles deux l.c.i. sont notées + et ×) est un sous-anneau
de A ,onmontre que :
• B contient l’élément unité de A ;
• B est stable par «soustraction »;
• B est stable par «multiplication ».
Pour montrerqu’un anneau A est un corps,onmontre que tout élément non nul de A est inversible.
Pour exprimer la division euclidienne de l’entier a par l’entiernon nul b ,onécrit :
a = bq + r avec0 r < | b |
(cf. exercices 16 à 18) .
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Exercice résolu
GROUPES DE CARDINALINFÉRIEUR OU ÉGAL À4
Trouver, àunisomorphisme près, tous les groupes de cardinal inférieur ou égal à4.
194