Structures algébriques usuelles
Exemple:167 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. Il est inutile d’essayer 13, car
167 < 13
2
. 167 est donc premier.
Nous admettrons sans démonstration le théorème suivant :
Théorème 7
Toutentier n > 1e st un produit de facteurs premiers.
La décomposition est unique, àl’ordre près.
La fonction factor,a ppliquée àu ne ntier, donne sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Exemple : 43560 = 2
3
× 3
2
× 5 × 11
2
L’exposantd un ombre premier p dans la décomposition de
l’entier n s’appelle la p-valuation de n.
Pour s’entraîner:ex. 19 et 20
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’un ensemble E munid’une l.c.i. estungroupe :
• s’ils’agit d’une l.c.i. tout àfait nouvelle, il faut vérifier :
–q u’elle est associative ;
–q u’il existe un élément neutre ;
–q ue tout élément possède un symétrique (cf. exercices 5 et 6 ) ;
• s’il s’agit de la restriction à E de la l.c.i. d’un groupe G contenant E, il suffit de vérifierq ue E estu n
sous-groupe de G (voir ci-après).
Pour montrer qu’une partie H d’ungroupe G est un sous-groupe de G ,onpeut:
• appliquer la caractérisation :
– H est non vide (on aintérêt àmontrer tout de suite que e ∈ H );
– H est stable par la l.c.i. de G ;
– H contient les symétriques de ses éléments (cf. exercices 7 à 9 ) ;
• montrer que c’est une intersection de sous-groupes ;
• montrer que c’est le sous-groupe engendré par un élément ;
• montrer que H est le noyau d’un morphisme de groupes;
• montrer que H est l’image d’un morphisme de groupes (cf. exercice 13) .
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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