COURS 10
Structures algébriques usuelles
Montrons que H ⊂ n 0 Z.
Soit p ∈ H . Effectuons la division euclidiennede p par n 0 :
p = n 0 q + r avec 0 r < n 0
p et n 0 q appartiennent à H , donc r appartient à H . Comme ]0, n 0 [ ∩ H =
∅, r = 0. D’où p = n 0 q ∈ n 0 Z. On abien montré que H ⊂ n 0 Z, d’où en
définitive H = n 0 Z.
APPLICATION 1
P.G.C.D. et P.P.C.M. de deux entiers
Soit ae tbdeux entiers relatifs. Montrer que
aZ + bZ et aZ ∩ bZ sont des sous-groupes
de Z .
Que peut-on en déduire ?
1) aZ + bZ est l’ensemble des entiers de la forme
au + bv avec( u , v )∈Z
2
.Cet ensemble est non vide,
stable par addition et il contient les opposés de ses
éléments :c’est un sous-groupe de (Z, +). C’est donc
l’ensemble des multiples d’un entier d, qui est appelé
plusgrand commun diviseur de a et b.
2) aZ ∩ bZ est l’intersection de deux sous-groupes de
(Z, +); c’est doncunsous-groupe de (Z, +), c’est-àdirel ’ensemble des multiples d’un entier m, qui est
appelé plus petitcommun multiple de a et b.
6.4 • Nombres premiers
Voyage 200:l af onction isprime testes iu ne ntier est
premier.
Un entier p strictements upérieur à1e st dit premier si ses
seuls diviseurs positifs sont1et p.
Application:Cribled’Ératosthène.
On obtientl al iste des nombres premiers inférieurs à n en
supprimant, pour tout entier p de 2àn ,tous les multiples
de p autres que p.
Dansl ap ratique, pour savoir si un entier n est premier, on
cherche àl ed iviser par tous les entiers premiers inférieurs ou
égaux à
√ n.
En effet, si n = pq, p >
√ n ⇒ q <
√ n.
Doc. 1 Le crible d’Ératosthène.
(mathématicien grec,284-192 av. J.-C.)
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