Structures algébriques usuelles
COURS
10
IMPORTANT
Ne pas confondre avec la notion de
diviseur de zéro.
Propriétés (Les démonstrations, très simples, sont laissées au lecteur.)
1) La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
2) L’opposé d’un multiple de b est un multiple de b.
3) Tout multiple d’un multiple de b est un multiple de b.
4) Si b divise deux entiers, il divise leur somme.
5) Tout diviseur d’un diviseur de a est un diviseur de a.
6) 0e st un multiple de tout entier. Tout entier divise 0.
7) Si b divise a et a divise b, alors a = ±b.
8) RestreintesàN,l es relations «divise »e t«est multiple de »s ont des
relations d’ordre partielles.
6.2 • Division euclidiennedans Z
Théorème 5
Soit (a, b) ∈ Z
2
telque b = 0.
Il existe un couple unique (q, r) ∈ Z
2
tel que a = bq + r et 0 r < |b| .
q est appelé quotient et rr este de la division de a par b.
Lesf onctions intDiv et mod donnent respectivement le
quotient et le rested el ad ivision euclidienne de deux entiers.
Démonstration
Existence:L’ensemble E des multiples de b inférieursouégaux
à a est une partie non vided eZmajorée par a. E possède
donc un plus grand élément, que nous noterons bq. Posons
r = a − bq . bq a, donc r 0. D’autrep art, bq + |b|
estunmultiple de b supérieur à bq, donc bq + |b| > a, d’où
r < |b|.
Unicité:Supposons a = bq + r = bq
+ r
avec0 r < | b |
et 0 r
< |b| .
On a b(q − q
) = r
− r , r
− r est donc un multiple de b.
Comme il est strictement comprisentre −|b| et |b|, il ne peut
être que nul. Donc r
= r et parsuite q
= q.
Le couple (q, r)e st donc unique.
Pours’entraîner :ex. 16 à18
6.3• Sous-groupes de (Z, +)
Théorème 6
Pour tout n ∈ Z, l’ensemble nZ des multiples de n estunsous-groupe de Z.
Tout sous-groupe de Z estdecette forme.
Démonstration
1) Pour tout n ∈ Z, nZ est non vide,stable par addition et il contient les opposés
de tous ses éléments. C’est donc un sous-groupe de Z.
2) Réciproquement, soit H un sous-groupe de Z.Si H ={0}, H =0Z.
Si H = {0}, pour tout élément n non nuld e H, | n |∈H et |n| > 0.
L’ensemble des éléments strictement positifs de H est une partie non videde N,
qui possède donc un plus petit élément n 0 . Comme H est un sous-groupe de
Z , n 0 Z ⊂ H .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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IMPORTANT
Ne pas confondre avec la notion de
diviseur de zéro.
Propriétés (Les démonstrations, très simples, sont laissées au lecteur.)
1) La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
2) L’opposé d’un multiple de b est un multiple de b.
3) Tout multiple d’un multiple de b est un multiple de b.
4) Si b divise deux entiers, il divise leur somme.
5) Tout diviseur d’un diviseur de a est un diviseur de a.
6) 0e st un multiple de tout entier. Tout entier divise 0.
7) Si b divise a et a divise b, alors a = ±b.
8) RestreintesàN,l es relations «divise »e t«est multiple de »s ont des
relations d’ordre partielles.
6.2 • Division euclidiennedans Z
Théorème 5
Soit (a, b) ∈ Z
2
telque b = 0.
Il existe un couple unique (q, r) ∈ Z
2
tel que a = bq + r et 0 r < |b| .
q est appelé quotient et rr este de la division de a par b.
Lesf onctions intDiv et mod donnent respectivement le
quotient et le rested el ad ivision euclidienne de deux entiers.
Démonstration
Existence:L’ensemble E des multiples de b inférieursouégaux
à a est une partie non vided eZmajorée par a. E possède
donc un plus grand élément, que nous noterons bq. Posons
r = a − bq . bq a, donc r 0. D’autrep art, bq + |b|
estunmultiple de b supérieur à bq, donc bq + |b| > a, d’où
r < |b|.
Unicité:Supposons a = bq + r = bq
+ r
avec0 r < | b |
et 0 r
< |b| .
On a b(q − q
) = r
− r , r
− r est donc un multiple de b.
Comme il est strictement comprisentre −|b| et |b|, il ne peut
être que nul. Donc r
= r et parsuite q
= q.
Le couple (q, r)e st donc unique.
Pours’entraîner :ex. 16 à18
6.3• Sous-groupes de (Z, +)
Théorème 6
Pour tout n ∈ Z, l’ensemble nZ des multiples de n estunsous-groupe de Z.
Tout sous-groupe de Z estdecette forme.
Démonstration
1) Pour tout n ∈ Z, nZ est non vide,stable par addition et il contient les opposés
de tous ses éléments. C’est donc un sous-groupe de Z.
2) Réciproquement, soit H un sous-groupe de Z.Si H ={0}, H =0Z.
Si H = {0}, pour tout élément n non nuld e H, | n |∈H et |n| > 0.
L’ensemble des éléments strictement positifs de H est une partie non videde N,
qui possède donc un plus petit élément n 0 . Comme H est un sous-groupe de
Z , n 0 Z ⊂ H .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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