COURS 10
Structures algébriques usuelles
5.3 • Sous-anneau
On appelle sous-anneau d’unanneau A, toute partie B de A stable par +e t
×et qui, munie des l.c.i. induites, est encore un anneau avec la même unité.
Théorème 4
Une partie B d’un anneau A est un sous-anneau de A si et seulement si :
1) 1 A ∈ B.
2) ∀(x, y) ∈ B
2
x − y ∈ B.
3) ∀(x, y) ∈ B
2
xy ∈ B.
Démonstration
• Soit B un sous-anneaude A. Il contient 1 A . Il est stablepar +e tcontient
les opposés de ses éléments, donc il ests table par −. De plus,i le st stable
par ×.
• Soit B une partie de A vérifiant les points 1), 2) et 3).D’après 1) et 2),( B ,+)
est un sous-groupe de (A, +) (caractérisation condensée). De plus, il eststable
par × et la l.c.i. induite est évidemment associative et distributive parrapport
à+ .D’après 1), B possède un élément unité qui est le mêmeq ue celui de
A :( B , + , × )e st un sous-anneau de A.
Exemples : L’ensemble des fonctions polynomiales,l’ensemble des fonctions continues, l’ensemble des fonctions bornées sont des sous-anneaux de R
R
.
L’ensemble des suites convergentes, l’ensemble des suites périodiques sont des
sous-anneaux de R
N
.
5.4 • Structuredecorps
On appelle corps un anneau (généralements upposé commutatif), non réduit à
{0}, dont tout élément non nul estinversible.
Si K est un corps, le groupe de ses éléments inversibles est K\{0}.
Exemples : (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×).
On appelle sous-corps d’un corps K une partiedeKstable par +e t×et qui,
muniedes l.c.i. induites, est encore un corps. (Il anécessairement la même unité
que K,car seséléments sont réguliers pour ×.)
6 Anneau des entiers relatifs
6.1 • Multiplesetdiviseurs d’un entier
Soit (a, b) ∈ Z
2
;s’il existe n ∈ Z tel que a = nb, on ditque :
– a estunmultiple de b.
– b estundiviseur de a (ou « b divise a », notation : b|a).
L’ensemble des multiples de b est noté bZ. Nousconviendrons de noter D(a)
l’ensemble des diviseursde a.
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