Structures algébriques usuelles
COURS
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5.2 • Propriétés
On peut définirdans un anneau A une l.c.i., notée −, par :
∀(a, b, c) ∈ A
2
a − b = a +(−b)
• ∀(a,b,c)∈A
3
a(b−c)=ab − ac.
En effet, a(b − c)+ac = a((b − c)+c)=ab.
• De même, ∀(a, b, c) ∈ A
3
(b − c)a = ba − ca.
• ∀a ∈ Aa 0 A = 0 A a = 0 A .
Il suffit de choisir b = c dans leségalités précédentes.
• La réciproquen’est pas toujours vraie :onappelle diviseurs de zéro deséléments
nonnuls dont le produit est0 A .
Exemple : Dansl’anneau R
R
, les fonctions f : x
→ x + |x| et g : x → x −|x|
sont des diviseurs de zéro, car fg est la fonction nulle, alors que ni f ni g ne
sont nulles.
• On peut généraliser la distributivité de x parrapport à+:
n
i = 1
ab i = a
n
i=1
b i
• On peut appliquer la formule du binôme àd eux éléments d’un anneau, s’ils
commutent :
ab = ba =⇒∀ n ∈ N( a + b )
n
=
n
p = 0
n
p
a
n − p
b
p
• De même, pour la factorisation de a
n
− b
n
:
ab = ba =⇒∀ n ∈ N
∗
a
n
− b
n
= ( a − b )
n − 1
p = 0
a
n − 1 − p
b
p
En particulier, comme tout élément x de l’anneau commute avec l’élément
unité, noté simplement 1:
∀ n∈N
∗
1−x
n
=(1 − x)
n−1
p=0
x
p
=
n−1
p=0
x
p
(1 − x)
Si 1 − x est inversible, on retrouvelaformule donnant la somme des termes
d’une suite géométrique :
1+x+x
2
+···+x
n−1
= (1 − x
n
)(1 − x)
−1
Pour s’entraîner:ex. 14 et 15
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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