COURS 10
Structures algébriques usuelles
4.4 • Imaged’un morphisme de groupes
Soit G et G
deux groupes, et f un morphismede G dans G
. On appelle
image de f l’ensemble deséléments de G
qui ont un antécédent dans G. On
le note:
Im f = {y ∈ G
, ∃x ∈ Gy=f( x) }=f( G)
Théorème 3
Pourtout morphisme f du groupe G dans le groupe G
:
• Im f est un sous-groupe de G
.
• Im f = G
si et seulementsi f est surjectif.
Démonstration
1) (Adoptons la notation multiplicative.)
e
= f (e) ∈ Im f , donc Im f = ∅.
∀(y, y
) ∈ (Im f )
2
, ∃(x, x
) ∈ G
2
y = f (x)ety
=f(x
).
D’où yy
= f (x)f (x
) = f (xx
) ∈ Im f :I m fest stable.
∀y ∈ Im f , ∃x ∈ Gy = f ( x ) . D’où y
−1
= f (x)
−1
= f (x
−1
) ∈ Im f .
Im f contient les inverses de tous ses éléments. Im f est donc un sous-groupe
de G
.
2) f (G) = G
est la définition même de la surjectivité de f .
Exemple : L’imagedumorphisme
(R, +) → (C
∗
, ×)
x
→
e
ix
estI mf=U={ z∈C,| z |=1 },qui est un sous-groupe de (C
∗
, ×).
Pours’entraîner :ex. 11 à13
5 Structure d’anneau
5.1 • Anneau
IMPORTANT
Ceparagraphen’ estpas au programme des étudiants de PTSI qui
n’ont paschoisi l’option PSI.
On appelle anneau un ensemble A muni de deux l.c.i., notées respectivement +
et ×, telles que :
A1. (A, +) est un groupeabélien. Le neutreest noté 0 A (élément nul).
A2. La l.c.i. × est associative.
A3. A possède un élément neutre pour la l.c.i. ×, noté 1 A (élément unité).
A4. × est distributive parrapport à+ ,c’est-à-dire :
∀(a, b, c) ∈ A
3
a(b + c) = ab + ac et (b + c)a = ba + ca
Si de plus × est commutative,l’anneau est dit commutatif.
Exemples :
• (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×)
• (R
N
, +, ×), (R
R
, +, ×)
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