Structures algébriques usuelles
COURS
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4.2 • Propriétés des morphismes de groupes
Soit G et G
deux groupes multiplicatifs, d’éléments neutres respectifs e et e
,
et f un morphisme de G dans G
.
f (e) = e
En effet, f (e) = f (ee) = f (e)f (e)e tf( e )=f( e ) e
,d’où f (e)f (e) = f (e)e
,
et, comme f (e)e st régulier, f (e) = e
.
∀x ∈ Gf ( x
− 1
) = f ( x )
− 1
En effet, f (xx
−1
) = f (x)f (x
−1
)e tf( xx
−1
) = f (e) = e
, d’où f (x)f (x
−1
) = e
,
c’est-à-dire f (x
−1
) = f (x)
−1
.
4.3 • Noyau d’unmorphisme de groupes
Soit G et G
deux groupes multiplicatifs, d’éléments neutres respectifs e et e
,
et f un morphisme de G dans G
.
On appelle noyau de f l’ensemble desé léments de G quio nt pour image
l’élémentneutre de G
. On le note :
Ker f = {x ∈ G , f (x) = e
} = f
−1
({e
})
Théorème 2
Pour tout morphisme f du groupe G dans le groupe G
:
• Ker f est un sous-groupe de G.
• Ker f = {e} si et seulement si f est injectif.
Démonstration
(Adoptons la notation multiplicative.)
1) Comme f (e) = e
, e ∈ Ker f , donc Ker f = ∅.
∀(x, y) ∈ (Ker f )
2
, f (xy) = f (x)f (y) = e
e
= e
, donc xy ∈ Ker f :K er f
est stable.
∀x ∈ Ker f , f (x
−1
) = f (x)
−1
= e
− 1
= e
, donc x
−1
∈ Ker f :K er f
contient les inverses de tous ses éléments. Ker f estdonc un sous-groupe de G.
2) Si f estinjectif, ∀x ∈ Ker f , f (x) = e
= f (e) , donc x = e. Ker f = {e}.
Réciproquement, si Ker f = {e}, soit (x, y) ∈ G
2
tel que f (x) = f (y).
Alors f (x)f (y)
−1
= e
;d ’où f (xy
−1
) = e
, d’où xy
−1
∈ Ker f , d’où
xy
−1
= e.
Donc x = y : f est injectif.
Exemple:L’application
(R, +) → (C
∗
, ×)
x
→
e
ix
est un morphisme de groupes,
dont le noyau estK er f = {x ∈ R , e
ix
= 1} = 2πZ , sous-groupe de (R, +).
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