COURS 10
Structures algébriques usuelles
3.2 • Exemples
IMPORTANT
Pour montrerq u’un ensemble G
munid ’une l.c.i. estu ng roupe, on
pourra souventm ontrer que c’est un
sous-groupe d’un groupe déjà connu
que l’on précisera.
On montre facilement, àl’aide du théorème de caractérisation d’un sous-groupe,
que :
• {e} et G sont des sous-groupes de G.
• L’intersection de deux sous-groupes de G est un sous-groupe de G.
• U = {z ∈ C, |z| = 1} est un sous-groupe de (C
∗
, ×).
• U n = {z ∈ C, z
n
= 1} est un sous-groupe de (U , ×).
• L’ensemble des suites convergentes estunsous-groupe de (R
N
, +).
• L’ensemble des fonctions continues est un sous-groupe de (R
R
, +).
• L’ensemble des isométries du plan P est un sous-groupede( Bij(P), ◦).
• L’ensemble desdéplacements de P est un sous-groupe du groupe des isométries
de P.
• L’ensemble des symétries centralesettranslations de P est un sous-groupe du
groupe des déplacements de P.
etc.
Pour s’entraîner :ex. 7à10
4 Morphisme de groupes
4.1 • Définition générale d’un morphisme
Soit E et F deux ensembles munis respectivement des l.c.i. ∗ et T . On appelle
morphisme de (E, ∗)d ans (F , T )u ne application f de E dans F telleque :
∀(x, y) ∈ E
2
f (x ∗ y) = f (x) Tf( y )
Exemples :
(Z, +) → (R
∗
+ , ×)
n
→
2
n
(R
∗
+ , ×) → (R, +)
x
→ ln x
(C, ×) → (C, ×)
z
→
z
• La composée de deux morphismesest un morphisme.
• Un morphisme d’un ensemble dans lui-même avec la même l.c.i. esta ppelé
endomorphisme.
• Un morphisme bijectif estappelé isomorphisme.
La bijection réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.
Deuxensembles sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme de l’un dans
l’autre.
• Un endomorphismebijectif estappelé automorphisme.
L’ensemble des automorphismes de (E, ∗)e st un sous-groupe de (Bij(E), T ),
noté Aut(E).
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