Structures algébriques usuelles
COURS
10
2.2 • Propriétés
IMPORTANT
On peut condenserl ac aractérisation
d’un sous-groupe en :
–notation additive :
1) H = ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
x − y ∈ H
–notation multiplicative :
1) H = ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
xy
−1 ∈ H
IMPORTANT
Pourmontrer que H est non vide, on
peut montrerq ue e ∈ H ;e ne ffet,
si cette condition n’est pas réalisée, H
n’estcertainement pas un sous-groupe
de G et il est inutile d’examiner la
suite.
1) Un groupe est non vide :ilcontient au moins son élément neutre.
2) L’élémentneutre estunique.
3) Le symétrique d’un élément estunique.
4) Pour tout élément a de G, ax = ay ⇒ x = y
(ilsuffit de multiplier àgauche par a
−1
).
De même : xa = ya ⇒ x = y
(multiplier àdroite par a
−1
).
On dit que a est régulier.
5) Pour tout (a, b) ∈ G
2
, l’équation ax = b aune solution unique : x = a
−1
b.
De même l’équation xa = b aune solution unique : x = ba
−1
.
6) ∀(a, b) ∈ G
2
(ab)
−1
= b
−1
a
−1
Pour s’entraîner :ex. 5et6
3 Sous-groupe
3.1 • Définitionetcaractérisation
On appelle sous-groupe d’un groupe G toutep artie H de G, stable par la
l.c.i. du groupe et qui, munie de la l.c.i. induite, estencore un groupe.
Exemple:Zest un sous-groupe de (R, +).
Théorème 1
Une partie H d’un groupe G est un sous-groupe si et seulement si :
1) H est non vide.
2) H est stable par la l.c.i. de G.
3) H contient lessymétriques de tous ses éléments.
En notation additive :
⎧
⎨
⎩
1) H
= ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
x + y ∈ H
3) ∀x ∈ H − x ∈ H
En notation multiplicative :
⎧
⎨
⎩
1) H = ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
xy ∈ H
3) ∀x ∈ Hx
− 1
∈ H
Démonstration
Adoptons la notation multiplicative et notons e l’élément neutre de G.
–Si H est un sous-groupe de G, il est non vide et stable par ×.
Soit e
l’élément neutre de H .
e
e
= e
e ;c omme e
est régulier, e
= e.
Soit x ∈ H . x auninverse x
−1
au sens de G et un inverse x
au sens de H .
x
x = e = x
−1
x, d’où x
= x
−1
;d onc x
−1
∈ H : H contient lesinverses de
tous ses éléments.
–Soit H unepartie de G vérifiant les points 1), 2) et 3). H est stable. Vérifions
que, munie de sa loi induite, c’est un groupe. La loi induitee st évidemment
associative.
Comme H
= ∅, il existe x ∈ H ;a lors x
−1
∈ H , d’où xx
−1
∈ H , c’est-àdire e ∈ H . H possède donc un élément neutre. De plus, tout élément de H
auninverse dans G, qui,d’après 3),est dans H : H estungroupe, donc un
sous-groupe de G.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
185
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2.2 • Propriétés
IMPORTANT
On peut condenserl ac aractérisation
d’un sous-groupe en :
–notation additive :
1) H = ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
x − y ∈ H
–notation multiplicative :
1) H = ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
xy
−1 ∈ H
IMPORTANT
Pourmontrer que H est non vide, on
peut montrerq ue e ∈ H ;e ne ffet,
si cette condition n’est pas réalisée, H
n’estcertainement pas un sous-groupe
de G et il est inutile d’examiner la
suite.
1) Un groupe est non vide :ilcontient au moins son élément neutre.
2) L’élémentneutre estunique.
3) Le symétrique d’un élément estunique.
4) Pour tout élément a de G, ax = ay ⇒ x = y
(ilsuffit de multiplier àgauche par a
−1
).
De même : xa = ya ⇒ x = y
(multiplier àdroite par a
−1
).
On dit que a est régulier.
5) Pour tout (a, b) ∈ G
2
, l’équation ax = b aune solution unique : x = a
−1
b.
De même l’équation xa = b aune solution unique : x = ba
−1
.
6) ∀(a, b) ∈ G
2
(ab)
−1
= b
−1
a
−1
Pour s’entraîner :ex. 5et6
3 Sous-groupe
3.1 • Définitionetcaractérisation
On appelle sous-groupe d’un groupe G toutep artie H de G, stable par la
l.c.i. du groupe et qui, munie de la l.c.i. induite, estencore un groupe.
Exemple:Zest un sous-groupe de (R, +).
Théorème 1
Une partie H d’un groupe G est un sous-groupe si et seulement si :
1) H est non vide.
2) H est stable par la l.c.i. de G.
3) H contient lessymétriques de tous ses éléments.
En notation additive :
⎧
⎨
⎩
1) H
= ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
x + y ∈ H
3) ∀x ∈ H − x ∈ H
En notation multiplicative :
⎧
⎨
⎩
1) H = ∅
2) ∀(x, y) ∈ H
2
xy ∈ H
3) ∀x ∈ Hx
− 1
∈ H
Démonstration
Adoptons la notation multiplicative et notons e l’élément neutre de G.
–Si H est un sous-groupe de G, il est non vide et stable par ×.
Soit e
l’élément neutre de H .
e
e
= e
e ;c omme e
est régulier, e
= e.
Soit x ∈ H . x auninverse x
−1
au sens de G et un inverse x
au sens de H .
x
x = e = x
−1
x, d’où x
= x
−1
;d onc x
−1
∈ H : H contient lesinverses de
tous ses éléments.
–Soit H unepartie de G vérifiant les points 1), 2) et 3). H est stable. Vérifions
que, munie de sa loi induite, c’est un groupe. La loi induitee st évidemment
associative.
Comme H
= ∅, il existe x ∈ H ;a lors x
−1
∈ H , d’où xx
−1
∈ H , c’est-àdire e ∈ H . H possède donc un élément neutre. De plus, tout élément de H
auninverse dans G, qui,d’après 3),est dans H : H estungroupe, donc un
sous-groupe de G.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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