COURS 10
Structures algébriques usuelles
Le symétriqued’un élément, s’il existe, estdonc unique.
Le plus souvent, une l.c.i. associative estn otée de façon additive : a + b ou
multiplicative : ab. La notation additive n’est employée que pour une l.c.i.
commutative.
notation
notation
additive
multiplicative
associativité
a +(b+c)=(a+b)+c
a(bc) = (ab)c
neutre
a +0=0+a=a
ae = ea = a
symétriquedea
opposé : −a
inverse:a
− 1
a+(−a)=(−a)+a=0 aa
−1
= a
−1
a = e
itéré : ∀n ∈ N
∗
si n = 0
si a estsymétrisable
∀n ∈ N
∗
na = a + a + ···+a
0a = 0
(−n)a = n(−a)
a
n
= aa ···a
a
0
= e
a
−n
= (a
−1
)
n
∀(n,m) ∈ Z
2
na + ma = (n + m)a
a
n
a
m
= a
n+m
Pour s’entraîner :ex. 2à4
2 Structure de groupe
2.1 • Définition d’un groupe
Évariste Galois (1811-1832) inventa le
mot groupe pour décrire les
permutations des racines d’une équation
algébrique.
On appelle groupe un ensemble G muni d’unel oi de composition interne ∗
telleque :
G1. ∗ estassociative :
∀(a, b, c) ∈ G
3
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
G2. G possèdeunélément neutre e :
∀a ∈ Ga ∗ e = e ∗ a = a
G3. Tous leséléments de G sontsymétrisables :
∀a ∈ G ∃a
∈ Ga ∗ a
= a
∗ a = e
Si de plus ∗ est commutative, le groupe estdit commutatif ou abélien.
Exemples :
• (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)
• (Q
∗
, ×), (R
∗
, ×), (C
∗
, ×)
• (Bij(E),◦), où Bij(E)e st l’ensemble des bijections de E dans E.
Dans la suite du chapitre, la l.c.i. d’un groupe quelconque est souvent notée
multiplicativement (ou additivement, uniquement si le groupe est abélien). S’il
n’y apas d’ambiguïté, on notera le groupe G sans préciser la l.c.i.
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