Structures algébriques usuelles
COURS
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IMPORTANT
S’ile xistait deux éléments neutres e
et f , on aurait :
• f ∗ e = f , car e est neutre.
• f ∗ e = e, car f est neutre.
Donc e = f .
L’élément neutre, s’il existe,e st donc
unique.
1 Lois de composition interne
1.1 • Loidecomposition interne –Partie stable
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne dans E
(en abrégé :l.c.i.) une application de E × E dans E, notée :
E × E →
E
(a, b)
→ a ∗ b
Une partie F de E est dite stable par la l.c.i. ∗, si :
∀(a, b) ∈ F
2
a ∗ b ∈ F
On appelle l.c.i. induite par ∗ dans F la restriction de ∗ à F × F .
Exemples :
• La partie R − de R est stable par +.
• La partie R + est stable par ×.
• La partie R − n’est pas stable par ×.
1.2 • Propriétés d’unel.c.i.
Unel.c.i. ∗ dans un ensemble E est dite :
• commutative,si:
∀(a,b)∈E
2
a∗b=b∗a ;
• associative,si:
∀(a,b,c)∈E
3
a∗(b∗c)=(a∗b)∗c.
Si ∗ estassociative, on peut écrire sans ambiguïté : a ∗ b ∗ c ou
1 i n
a i
Exemples :a 1 +a 2 +···+a n =
n
i=1
a i et a 1 ×a 2 × ···×a n =
n
i=1
a i .
Un élément e ∈ E estdit :
• élémentneutre,si:
∀a∈Ea ∗ e = e ∗ a = a
Si E possède un élément neutre e, un élément a de E est dit :
• symétrisable,si:
∃a
∈Ea ∗ a
= a
∗ a = e
a
est appelé symétrique de a.
Supposonslal.c.i. ∗ associative ;siunélément a possède deux symétriques a
et a
, on a:
a
∗ a ∗ a
= (a
∗ a) ∗ a
= e ∗ a
= a
a
∗ a ∗ a
= a
∗ (a ∗ a
) = a
∗ e = a
, donc a
= a
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