Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
EXERCICES
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F dans G. Montrerque :
f injective
⇐⇒ ∀ ( g , h ) ∈ ( F
E
)
2
( f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h )
f surjective ⇐⇒ ∀ ( j , k ) ∈ ( H
G
)
2
( j ◦ f = k ◦ f ⇒ j = k )
12 Soit E et F deux ensembles et f une application
de E dans F . Soit B et B
deux parties de F .
1) Démontrer que :
B ⊂ B
⇒ f
−1
(B) ⊂ f
−1
(B
)
2) En déduire que :
f
−1
(B ∩ B
) = f
−1
(B) ∩ f
−1
(B
)
3) Démontrer que :
f
−1
(B ∪ B
) = f
−1
(B) ∪ f
−1
(B
)
4) Démontrer que :
f
−1
(C F B) = C E f
−1
(B)
13 Soit E et F deux ensembles et f une application
de E dans F . Soit A et A
deux parties de E.
1) Démontrer que :
A ⊂ A
⇒ f (A) ⊂ f (A
)
2) En déduire que :
f (A ∩ A
) ⊂ f (A) ∩ f (A
)
La réciproque est-elle vraie ?
3) Démontrer que :
f (A ∪ A
) = f (A) ∪ f (A
)
4) Peut-on comparer :
f (C E A)a vec C F f (A)?
Relations d’ordre
14 Soit C et C
deux cercles du plan, de centres respectifs O, O
et de rayons respectifs R, R
. On dit que C
est intérieur à C
si OO
R
− R.
Montrerqu’il s’agit d’une relation d’ordre dans l’ensemble
des cercles du plan.
15 On munit l’ensemble N
∗
de la relation R définie
par :
∀(p, q) ∈ N
∗2
pRq ⇐⇒ ∃ n ∈ N
∗
p
n
= q
1) Démontrer que R est une relation d’ordre. L’ordre est-il
total ?
2) La partie {2, 3} est-elle majorée?
16 Soit E et F deux ensembles ordonnés, et f une
applicationde E dans F .
1) Montrer que si f est croissante et injective, elle est
strictement croissante.
2) Montrer que si f est strictement croissante et que l’ordre
de E est total, f est injective.
Donner un contre-exemple dans le cas où l’ordre de E est
partiel.
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