Exercices
1 Vraioufaux ?
a) ∀x ∈ R
∗
+ ∩ R
∗
− x = 0.
b) ∀x ∈ R
x
2
< 0 ⇒ x < 0.
c) La négation de (P ⇒ Q)e st (Q ⇒ P).
d) R + R − = R
∗
.
e) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C ).
f) Soit f ∈ F
E
,
f injective ⇐⇒ ∀ ( x , y ) ∈ E
2
x = y
ou f (x) = f (y).
g) Deux applications f et g de E dans E telles que
f ◦ g = Id E sont bijectives.
h) Si f et g sont bijectives, (f ◦ g)
−1
= f
−1
◦ g
−1
.
i) Soit f ∈ F
E
. pour tout élément x de E.
f (x) ∈ f (A) ⇒ x ∈ A.
j) Dans R
∗
, la relation
y
x
∈ N
∗
est une relation d’ordre.
k) Dans C,larelation |z| |z
| est une relation d’ordre.
Quantificateurs
2 Écrire, àl’aide de quantificateurs, les propositions suivantes et leurs négations.Préciser lesquelles sont vraies.
1) Aucun entier n’est supérieur àtous les autres.
2) Il existe un entier multiple de tous les autres.
3) Tout réel possèdeune racine carrée dans R.
4) Tous les réels ne sont pas des quotients d’entiers.
5) Certains réels sont strictement supérieurs àleur carré.
6) Étant donné trois réels, il yenaaumoins deux de même
signe.
3 Examiner la vérité de la proposition suivante, ainsi
que de toutes celles que l’onp eut obtenir en permutant
l’ordredes quantificateurs :
∃x ∈ R
∗
∀y ∈ R
∗
∀z ∈ R
∗
z = xy
Parties d’un ensemble
4 Démontrer que pour toutes parties A, B, C d’un
même ensemble E :
1) A\B = C E B\C E A.
2) A\(B ∩ C ) = (A\B) ∪ (A\C).
3) A\(B ∪ C ) = (A\B) ∩ (A\C).
5 Démontrer que pour toutes parties A, B et C d’un
même ensemble E :
(A ∩ B ⊂ A ∩ C )e t( A ∪ B⊂A ∪ C ) = ⇒ B⊂C
6 Démontrer que pour toutes parties A, B et C d’un
même ensemble E :
A ∩ B = A ∩ C
⇐⇒
A ∩ C E B = A ∩ C E C
7 Soit E un ensemble, et A, B, C trois parties de E.
Démontrer que :
A B = A C ⇒ B = C
Applications
8
∗ Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective
d’un ensemble E dans l’ensemble de ses parties P(E).
Indication :Penser àlapartie A = {x ∈ E , x
∈ f (x)}.
9 Soit E, F , G, H quatre ensembles et f ∈ F
E
,
g ∈ G
F
, h ∈ H
G
trois applications. Démontrer que si
g ◦ f et h◦ g sont bijectives, alors f , g et h le sont aussi.
10 Soit E, F , G troisensembles et f ∈ F
E
, g ∈ G
F
deux applications.
1) Démontrer que si g ◦ f est surjectivee t g injective,
alors f est surjective.
2) Démontrer que si g ◦ f est injective et f surjective,
alors g est injective.
11
∗
Soit E, F , G, H quatre ensembles tels que H
possèdeaumoins deux éléments, et f une application de
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1 Vraioufaux ?
a) ∀x ∈ R
∗
+ ∩ R
∗
− x = 0.
b) ∀x ∈ R
x
2
< 0 ⇒ x < 0.
c) La négation de (P ⇒ Q)e st (Q ⇒ P).
d) R + R − = R
∗
.
e) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C ).
f) Soit f ∈ F
E
,
f injective ⇐⇒ ∀ ( x , y ) ∈ E
2
x = y
ou f (x) = f (y).
g) Deux applications f et g de E dans E telles que
f ◦ g = Id E sont bijectives.
h) Si f et g sont bijectives, (f ◦ g)
−1
= f
−1
◦ g
−1
.
i) Soit f ∈ F
E
. pour tout élément x de E.
f (x) ∈ f (A) ⇒ x ∈ A.
j) Dans R
∗
, la relation
y
x
∈ N
∗
est une relation d’ordre.
k) Dans C,larelation |z| |z
| est une relation d’ordre.
Quantificateurs
2 Écrire, àl’aide de quantificateurs, les propositions suivantes et leurs négations.Préciser lesquelles sont vraies.
1) Aucun entier n’est supérieur àtous les autres.
2) Il existe un entier multiple de tous les autres.
3) Tout réel possèdeune racine carrée dans R.
4) Tous les réels ne sont pas des quotients d’entiers.
5) Certains réels sont strictement supérieurs àleur carré.
6) Étant donné trois réels, il yenaaumoins deux de même
signe.
3 Examiner la vérité de la proposition suivante, ainsi
que de toutes celles que l’onp eut obtenir en permutant
l’ordredes quantificateurs :
∃x ∈ R
∗
∀y ∈ R
∗
∀z ∈ R
∗
z = xy
Parties d’un ensemble
4 Démontrer que pour toutes parties A, B, C d’un
même ensemble E :
1) A\B = C E B\C E A.
2) A\(B ∩ C ) = (A\B) ∪ (A\C).
3) A\(B ∪ C ) = (A\B) ∩ (A\C).
5 Démontrer que pour toutes parties A, B et C d’un
même ensemble E :
(A ∩ B ⊂ A ∩ C )e t( A ∪ B⊂A ∪ C ) = ⇒ B⊂C
6 Démontrer que pour toutes parties A, B et C d’un
même ensemble E :
A ∩ B = A ∩ C
⇐⇒
A ∩ C E B = A ∩ C E C
7 Soit E un ensemble, et A, B, C trois parties de E.
Démontrer que :
A B = A C ⇒ B = C
Applications
8
∗ Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective
d’un ensemble E dans l’ensemble de ses parties P(E).
Indication :Penser àlapartie A = {x ∈ E , x
∈ f (x)}.
9 Soit E, F , G, H quatre ensembles et f ∈ F
E
,
g ∈ G
F
, h ∈ H
G
trois applications. Démontrer que si
g ◦ f et h◦ g sont bijectives, alors f , g et h le sont aussi.
10 Soit E, F , G troisensembles et f ∈ F
E
, g ∈ G
F
deux applications.
1) Démontrer que si g ◦ f est surjectivee t g injective,
alors f est surjective.
2) Démontrer que si g ◦ f est injective et f surjective,
alors g est injective.
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∗
Soit E, F , G, H quatre ensembles tels que H
possèdeaumoins deux éléments, et f une application de
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