Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerque E ⊂ F :
• on considère un élément quelconque de E et on démontre qu’il appartient à F (cf. Application 1etexercice 5).
Pour montrerque E = F , on montre les deux inclusions : E ⊂ F et F ⊂ E (cf. exercices 4, 6et7).
Pour montrer que deux applications f et g sont égales, on montre qu’elles ont le même ensemble de départ
E, le même ensemble d’arrivée F , et que ∀x ∈ Ef ( x ) = g ( x ) .
Pour montrer qu’une application f de E dans F estinjective, on peut :
• considérer deux éléments x et x
de E tels que f (x) = f (x
)e tm ontrer que x = x
(cf.Application 3) ;
• trouver une application g définie sur F telleque g ◦ f est injective (cf. exercice 10).
Pour montrerqu’une application f de E dans F est surjective,onpeut :
• considérer un élément y de F et prouver qu’ilexiste x ∈ E telque f (x) = y (cf. Application 3) ;
• trouverune application g arrivant dans E telleque f ◦ g est surjective (cf.exercice 10).
Pour montrer qu’une application f de E dans F estbijective, on peut :
• considérer un élément y de F et prouverq u’il existe un unique x ∈ E telq ue f (x) = y
(cf. Application 3) ;
• montrerqu’elle est injective et surjective (cf. exercice 9) ;
• trouverune application g de F dans E telleque g ◦ f = Id E et f ◦ g = Id F .
Pour montrerqu’une relation binaire dans E est une relation d’ordre, on montre qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive (cf. exercices 14 et 15).
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Pour montrerque E ⊂ F :
• on considère un élément quelconque de E et on démontre qu’il appartient à F (cf. Application 1etexercice 5).
Pour montrerque E = F , on montre les deux inclusions : E ⊂ F et F ⊂ E (cf. exercices 4, 6et7).
Pour montrer que deux applications f et g sont égales, on montre qu’elles ont le même ensemble de départ
E, le même ensemble d’arrivée F , et que ∀x ∈ Ef ( x ) = g ( x ) .
Pour montrer qu’une application f de E dans F estinjective, on peut :
• considérer deux éléments x et x
de E tels que f (x) = f (x
)e tm ontrer que x = x
(cf.Application 3) ;
• trouver une application g définie sur F telleque g ◦ f est injective (cf. exercice 10).
Pour montrerqu’une application f de E dans F est surjective,onpeut :
• considérer un élément y de F et prouver qu’ilexiste x ∈ E telque f (x) = y (cf. Application 3) ;
• trouverune application g arrivant dans E telleque f ◦ g est surjective (cf.exercice 10).
Pour montrer qu’une application f de E dans F estbijective, on peut :
• considérer un élément y de F et prouverq u’il existe un unique x ∈ E telq ue f (x) = y
(cf. Application 3) ;
• montrerqu’elle est injective et surjective (cf. exercice 9) ;
• trouverune application g de F dans E telleque g ◦ f = Id E et f ◦ g = Id F .
Pour montrerqu’une relation binaire dans E est une relation d’ordre, on montre qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive (cf. exercices 14 et 15).
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