COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
APPLICATION 4
Étuded’une relation d’ordre
On munit R
2
de la relation notée définie par:
(x,y)(x
,y
)
⇐⇒
x x
et y y
1) Démontrer que estu ne relation d’ordre. L’ordre
est-il total ou partiel ?
2) Le disque fermé de centre Od erayon 1a-t-il des majorants? un plus grand élément ?u ne borne supérieure ?
1) La relation est :
• réflexive:pour tout (x, y) ∈ R
2
,
x x et y y
• antisymétrique :pour tous couples (x, y)e t( x
,y
)
de R
2
,
x x
, y y
, x
x , y
y
=⇒ (x, y) = (x
, y
)
• transitive:pourt ous couples (x, y), (x
, y
)e t
( x
, y
)d eR
2
,
xx
,yy
,x
x
, y
y
=⇒ x x
, y y
C’est donc une relation d’ordre. L’ordre est partiel :
on ne peut pas classer par exemple les couples (1, 2)
et (2, 1).
2) Posons D = {(x, y) ∈ R
2
x
2
+ y
2
1}
Supposons que D possèdeu np lus grand élément
(x 0 , y 0 ).
(1, 0) ∈ D d’où x 0 1ety 0 0
(0, 1) ∈ D d’où x 0 0ety 0 1
y
1
1
x
D
M
Sup D
o
Doc. 13
Les inégalités x 0 1e ty 0 1s ont incompatibles
avecl ’inégalité x
2
0 + y
2
0 1q ui caractérise l’appartenanced e( x 0 , y 0 )àD . Dn’a donc pas de plus
grandélément.
L’ensemble des majorants de D est:
M ={(x,y)∈R
2
x1ety1}
La borne supérieure de D est le plus petit des majorants de D, c’est-à-dire (1, 1).
Pour s’entraîner:ex. 14 à16
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