Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
8
6.4 • Vocabulaire lié àl’ordre
Soit E un ensemble ordonnép ar la relation , et A une partied e E. On
appelle:
• Majorant de A un élément de E supérieur ou égal àtous les éléments de A.
M majore A
⇐⇒
∀ a ∈ Aa M
Unepartie estdite majorée si elle possèdeunmajorant.
• Minorant de A un élémentde E inférieur ou égal àtous les éléments de A.
m minore A
⇐⇒
∀ a ∈ Am a
Unepartie estdite minorée si elle possèdeunminorant.
• Plusgrand élément de A (ou élément maximum)unmajorant de A appartenant à A. S’il existe, il estunique. On le note max A.
• Plus petitélément de A (ou élément minimum)unminorant de A appartenant à A. S’ilexiste, il estunique. On le note min A.
• Borne supérieure de A le plus petit des majorants de A, s’il existe. Il estalors
unique,onlenote sup A.
(Si A possède un plus grand élément, il estnécessairement borne supérieure.)
• Borne inférieure de A le plus grand des minorants de A, s’il existe.I le st
alors unique, on le note inf A.
(Si A possèdeunplus petit élément, il estnécessairement borne inférieure.)
IMPORTANT
Les notions de borne supérieure et
borne inférieure seront approfondies
danslechapitre sur les nombres réels,
dont elles constituent le fondement.
Exemple : Si E = R, la partie A =]0, 1] estminorée (par −1p ar exemple) et
majorée(par 3par exemple). Elle admet un plus grand élément :1,qui est donc
aussi sa borne supérieure.
max ]0, 1] = sup ]0, 1] = 1
A n’admet pas de plus petit élément, mais une borne inférieure :0.
inf ]0, 1] = 0
Si E et F sont deux ensembles ordonnés, une application f de E dans F est
dite croissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x y =⇒ f (x) f (y)
f est dite strictement croissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x < y =⇒ f (x) < f (y)
f est dite décroissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x y =⇒ f (x) f (y)
f est dite strictement décroissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x < y =⇒ f (x) > f (y)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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6.4 • Vocabulaire lié àl’ordre
Soit E un ensemble ordonnép ar la relation , et A une partied e E. On
appelle:
• Majorant de A un élément de E supérieur ou égal àtous les éléments de A.
M majore A
⇐⇒
∀ a ∈ Aa M
Unepartie estdite majorée si elle possèdeunmajorant.
• Minorant de A un élémentde E inférieur ou égal àtous les éléments de A.
m minore A
⇐⇒
∀ a ∈ Am a
Unepartie estdite minorée si elle possèdeunminorant.
• Plusgrand élément de A (ou élément maximum)unmajorant de A appartenant à A. S’il existe, il estunique. On le note max A.
• Plus petitélément de A (ou élément minimum)unminorant de A appartenant à A. S’ilexiste, il estunique. On le note min A.
• Borne supérieure de A le plus petit des majorants de A, s’il existe. Il estalors
unique,onlenote sup A.
(Si A possède un plus grand élément, il estnécessairement borne supérieure.)
• Borne inférieure de A le plus grand des minorants de A, s’il existe.I le st
alors unique, on le note inf A.
(Si A possèdeunplus petit élément, il estnécessairement borne inférieure.)
IMPORTANT
Les notions de borne supérieure et
borne inférieure seront approfondies
danslechapitre sur les nombres réels,
dont elles constituent le fondement.
Exemple : Si E = R, la partie A =]0, 1] estminorée (par −1p ar exemple) et
majorée(par 3par exemple). Elle admet un plus grand élément :1,qui est donc
aussi sa borne supérieure.
max ]0, 1] = sup ]0, 1] = 1
A n’admet pas de plus petit élément, mais une borne inférieure :0.
inf ]0, 1] = 0
Si E et F sont deux ensembles ordonnés, une application f de E dans F est
dite croissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x y =⇒ f (x) f (y)
f est dite strictement croissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x < y =⇒ f (x) < f (y)
f est dite décroissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x y =⇒ f (x) f (y)
f est dite strictement décroissante si :
∀(x, y) ∈ E
2
x < y =⇒ f (x) > f (y)
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