COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
Exemple : Si f estl’application
R →
R
x
→ sin x
,
f
−1
[0, 1]
=
k∈Z
[2kπ, (2k +1)π]
Pour s’entraîner :ex. 12, 13
6 Relation d’ordre
6.1 • Relation binaire
On appelle relation binaire définiesur un ensemble E la donnée de E et d’une
partie quelconque Γ de E × E. On note xRy pour (x, y) ∈ Γ .
Exemples : Dans Z :
|x| = |y|, x
= y, x divise y, etc.
6.2 • Relation d’ordre
Une relationbinaire R définie sur un ensemble E est une relation d’ordre si
elle est:
• réflexive :
∀x ∈ Ex R x ;
• antisymétrique :
∀(x, y) ∈ E
2
( xRy et yRx ) ⇒ x = y ;
• transitive :
∀(x, y, z) ∈ E
3
( xRy et yRz ) ⇒ xRz.
L’ordre estdit total s’ilpermet de comparer deux éléments quelconques :
∀(x, y) ∈ E
2
xRy ou yRx
L’ordreest dit partiel dans le cas contraire.
Un ensemble muni d’une relation d’ordre est dit ordonné (respectivement totalement ordonné ou partiellementordonné).
6.3 • Exemples
ensemble relation ordre
R
total
P(E)
⊂
partiel
N
«divise » partiel
ATTENTION
La relation,d ite «d’ordre strict »,
x < y, quisignifie x y et x = y,
n’est pasu ne relation d’ordre (puisqu’elle n’est pasréflexive).
Par analogie avec le premier exemple, uner elation d’ordre est souvent notée
qu’elle soit totale ou partielle. Il faut prendre garde ànepas céder aux automatismes
que pourraient suggérer cette notation :b eaucoup de relations d’ordre ont des
propriétés très différentes de celles de l’ordre totaldeR.
Si E estu ne nsemble ordonné par la relation , on peut munir le produit
cartésien E × E de l’ordre dit lexicographique défini par :
(x, y) (x
, y
)
⇐⇒
x < x
ou (x = x
et y y
)
On peut généraliser cette définition àl’ensemble E
n
. C’est le principe de l’ordre
alphabétique appliqué aux suites de lettres de l’alphabet.
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