Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
8
1) Notons que f (A ∪ B) = (A, B) = f (E). Si f est
injective,onendéduit A ∪ B = E.
Réciproquement, supposonsque A ∪ B = E et montrons l’injectivité de f . Considéronsp our cela deux
parties X et Y de E telles que f (X ) = f (Y ), c’està-dire X ∩ A = Y ∩ A et X ∩ B = Y ∩ B. On en
déduit :
(X ∩ A) ∪ (X ∩ B) = (Y ∩ A) ∪ (Y ∩ B)
soit : X ∩ (A ∪ B) = Y ∩ (A ∪ B), d’oùendéfinitive
X = Y . f est donc injective.
2) Si f ests urjective, il existe une partie X de E
telleque : f (X ) = (A, ∅), c’est-à-dire X ∩ A = A et
X ∩ B = ∅ ; A est inclus dans X qui est disjoint de
B, il est donc lui-même disjoint de B : A ∩ B = ∅.
Réciproquement, supposons que A ∩ B = ∅ et montrons la surjectivité de f . Considérons pour cela un
élément( A
, B
)d eP ( A ) ×P( B) . On remarque
que :
(A
∪ B
) ∩ A = (A
∩ A) ∪ (B
∩ A) = A
et
(A
∪ B
) ∩ B = (A
∩ B) ∪ (B
∩ B) = B
c’est-à-dire : f (A
∪ B
) = (A
, B
). L’élément
(A
, B
)adonc un antécédent par f : f est surjective.
Pours’entraîner :ex. 8à11
5 Image directe ou réciproque
d’une partie
5.1 • Image d’une partie de l’ensemblededépart
Soit f une application de E dans F , et A une partiede E. On appelle image
de A par f l’ensembledes images des éléments de A. Par abus de notation, cet
ensemble est noté f (A), mais il faut bien garder àl ’esprit qu’il ne s’agit pas de
l’imaged’un élément de E. On adonc par définition :
∀y ∈ Fy ∈ f ( A ) ⇐⇒ ∃ x ∈ Ay = f ( x )
IMPORTANT
La surjectivité d’une application f de
E dans F peut s’écriret rès simplement : f (E) = F .
Exemple : Si f estl’application
R →
R
x
→ sin x
, f
[0, π]
= [0, 1].
5.2 • Imageréciproque d’une partie de l’ensemble
d’arrivée
Soit f une application de E dans F , et B une partie de F . On appelle
imager éciproque de B par f l’ensembled es antécédents des éléments de B,
autrement dit l’ensemble des éléments de E dont l’imageappartient à B. Par abus
de notation, cet ensemble estnoté f
−1
(B), mais f
−1
ne désigne généralement
pas une application, et il faut bien se garder de croire que l’image réciproque par
f soitl ’image directe par une autre application... (sauf quand f est bijective;
l’image réciproque d’une partie esta lors l’image de cette partie par la bijection
réciproque). Par définition :
∀x ∈ Ex ∈ f
− 1
( B ) ⇐⇒ f ( x ) ∈ B
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
157
COURS
8
1) Notons que f (A ∪ B) = (A, B) = f (E). Si f est
injective,onendéduit A ∪ B = E.
Réciproquement, supposonsque A ∪ B = E et montrons l’injectivité de f . Considéronsp our cela deux
parties X et Y de E telles que f (X ) = f (Y ), c’està-dire X ∩ A = Y ∩ A et X ∩ B = Y ∩ B. On en
déduit :
(X ∩ A) ∪ (X ∩ B) = (Y ∩ A) ∪ (Y ∩ B)
soit : X ∩ (A ∪ B) = Y ∩ (A ∪ B), d’oùendéfinitive
X = Y . f est donc injective.
2) Si f ests urjective, il existe une partie X de E
telleque : f (X ) = (A, ∅), c’est-à-dire X ∩ A = A et
X ∩ B = ∅ ; A est inclus dans X qui est disjoint de
B, il est donc lui-même disjoint de B : A ∩ B = ∅.
Réciproquement, supposons que A ∩ B = ∅ et montrons la surjectivité de f . Considérons pour cela un
élément( A
, B
)d eP ( A ) ×P( B) . On remarque
que :
(A
∪ B
) ∩ A = (A
∩ A) ∪ (B
∩ A) = A
et
(A
∪ B
) ∩ B = (A
∩ B) ∪ (B
∩ B) = B
c’est-à-dire : f (A
∪ B
) = (A
, B
). L’élément
(A
, B
)adonc un antécédent par f : f est surjective.
Pours’entraîner :ex. 8à11
5 Image directe ou réciproque
d’une partie
5.1 • Image d’une partie de l’ensemblededépart
Soit f une application de E dans F , et A une partiede E. On appelle image
de A par f l’ensembledes images des éléments de A. Par abus de notation, cet
ensemble est noté f (A), mais il faut bien garder àl ’esprit qu’il ne s’agit pas de
l’imaged’un élément de E. On adonc par définition :
∀y ∈ Fy ∈ f ( A ) ⇐⇒ ∃ x ∈ Ay = f ( x )
IMPORTANT
La surjectivité d’une application f de
E dans F peut s’écriret rès simplement : f (E) = F .
Exemple : Si f estl’application
R →
R
x
→ sin x
, f
[0, π]
= [0, 1].
5.2 • Imageréciproque d’une partie de l’ensemble
d’arrivée
Soit f une application de E dans F , et B une partie de F . On appelle
imager éciproque de B par f l’ensembled es antécédents des éléments de B,
autrement dit l’ensemble des éléments de E dont l’imageappartient à B. Par abus
de notation, cet ensemble estnoté f
−1
(B), mais f
−1
ne désigne généralement
pas une application, et il faut bien se garder de croire que l’image réciproque par
f soitl ’image directe par une autre application... (sauf quand f est bijective;
l’image réciproque d’une partie esta lors l’image de cette partie par la bijection
réciproque). Par définition :
∀x ∈ Ex ∈ f
− 1
( B ) ⇐⇒ f ( x ) ∈ B
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
157