COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
4.4 • Application bijective
ATTENTION
L’application f
−1 n’existe que pour
une application bijective. C’est une
fauteg rave de l’évoquer sans vérifier
quel’on abienaffaireàune bijection.
Une application f de E dans F est dite bijective (ou on dit que c’est une
bijection)sielle est àlafois injective et surjective, c’est-à-dire si pour tout y ∈ F ,
l’équation f (x) = y admetune solution unique x dans E.
Exemples :
1) Id E estbijective.
2) Touteapplication de ∅ dans ∅ estbijective.
3) L’application
R + → R +
x → x
2
est bijective.
Théorème 4
1) La composée de deux bijections estune bijection.
2) Si la composée g ◦ f estbijective, g est surjective et f injective.
3) L’application f de E dans F est bijective si et seulement si il existe une
application de F dans E notée f
−1
telle que
f
−1
◦ f = Id E et f ◦ f
−1
= Id F
L’application f
−1
estappelée bijectionréciproque de f .
4) Si f et g sont deux bijections, (g ◦ f )
−1
= f
−1
◦ g
−1
.
Démonstration
1) et 2) découlentdirectement des théorèmes 2 et 3.
3) Si f est bijective, tout élément de F possède un antécédent et un seul par f ,
ce qui permet de définir de F dans E l’application, notée f
−1
:
∀y ∈ Ef
− 1
( y ) = xoù x estl’unique solution de l’équation f (x) = y
On aalors de façon immédiate :
∀x ∈ Ef
− 1
◦ f ( x ) = xet ∀y ∈ Ff ◦ f
− 1
( y ) = y
4) (f
−1
◦ g
−1
)◦ (g ◦ f ) = f
−1
◦ g
−1
◦ g ◦ f = f
−1
◦ f = Id E
(g ◦ f )◦ (f
−1
◦ g
−1
) = g ◦ f ◦ f
−1
◦ g
−1
= g ◦ g
−1
= Id F .
Une application f de E dans E estd ite involutive (c’est une involution)s i
f◦f =Id E , c’est-à-dire si f estbijective et si f
−1
= f .
APPLICATION 3
Démontrer l’injectivité ou la surjectivité d’uneapplication
Soit Eu nensemble, Ae tBdeux parties de E. On
considèrel’application :
P(E) →
f
P(A) ×P(B)
X
→ (X ∩ A, X ∩ B)
Démontrer que:
1) fe st injective si et seulement si A ∪ B = E.
2) fe st surjective si et seulement si A ∩ B = ∅.
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