Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
8
Exemples :
1) Id E est surjective.
2) Touteapplication de E dans ∅ est surjective.(si E
= ∅, il n’y en aaucune !)
3) L’application
R → R +
x
→ x
2
estsurjective.
Théorème 3
1) La composée de deuxsurjections est une surjection.
2) Si la composée g ◦f estsurjective, g est surjective.
Démonstration
Soit E, F , G troise nsembles, f une application de E dans F , et g une
application de F dans G.
1) Supposons f et g surjectives. Soit z ∈ G. z possède un antécédent y dans
F par g, et y possède un antécédent x dans E par f . g ◦f (x) = g(y) = z ;
x est donc un antécédent de z par g ◦f . Cette application estsurjective.
2) Supposons g ◦f surjective.S oit z ∈ G. z possèdeu na ntécédent x dans
E par g ◦f , d’où z = g ◦f (x) = g
f (x)
; f (x)e st donc un antécédent de z
dans F par g. L’application g est surjective.
APPLICATION 2
Équivalencedel’existence d’une injection de E dans F
et d’une surjection de F dans E
Soit Ee tF deux ensembles, montrer qu’il existe une
application injective de Ed ans Fs ietseulement si il
existe une application surjective de Fd ans E.
Supposons qu’il existe une injection f de E dans
F , et considéronsunélément y de F :
• ou bien l’équation f (x) = y possèdeune solution
unique x ;onnote x = g(y);
• ou bien l’équation f (x) = y n’a aucunesolution ;
on choisitalors un élément quelconque de E, a,
et on pose a = g(y).
g ainsi définie est une application de F dans E
puisque tout élément de F possède une uniqueimage
dans E. Ellee st surjective, puisque tout élément de
E est l’imagep ar g d’au moins un élémentd e F
(son image par f )( Doc. 11).
Réciproquement, supposonsq u’il existe une surjection h de F dans E, et considérons un élément x
de E :l ’équation h(y) = x possède au moinsu ne
solution (Doc. 12). Choisissons alors l’une de ces solutions y 0 , et posons y 0 = k(x). k ainsi définie est
une application de E dans F puisquetout élément
de E possèdeu ne unique image dans F . Elle est
injective,eneffet k(x) = k(x
) = y 0 entraîne que x
et x
sont images par h d’unmême élément de F :
x = x
= h(y 0 ).
F
y
x
E f
a
g
Doc. 11
y 0
x
E
F
Doc. 12
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Exemples :
1) Id E est surjective.
2) Touteapplication de E dans ∅ est surjective.(si E
= ∅, il n’y en aaucune !)
3) L’application
R → R +
x
→ x
2
estsurjective.
Théorème 3
1) La composée de deuxsurjections est une surjection.
2) Si la composée g ◦f estsurjective, g est surjective.
Démonstration
Soit E, F , G troise nsembles, f une application de E dans F , et g une
application de F dans G.
1) Supposons f et g surjectives. Soit z ∈ G. z possède un antécédent y dans
F par g, et y possède un antécédent x dans E par f . g ◦f (x) = g(y) = z ;
x est donc un antécédent de z par g ◦f . Cette application estsurjective.
2) Supposons g ◦f surjective.S oit z ∈ G. z possèdeu na ntécédent x dans
E par g ◦f , d’où z = g ◦f (x) = g
f (x)
; f (x)e st donc un antécédent de z
dans F par g. L’application g est surjective.
APPLICATION 2
Équivalencedel’existence d’une injection de E dans F
et d’une surjection de F dans E
Soit Ee tF deux ensembles, montrer qu’il existe une
application injective de Ed ans Fs ietseulement si il
existe une application surjective de Fd ans E.
Supposons qu’il existe une injection f de E dans
F , et considéronsunélément y de F :
• ou bien l’équation f (x) = y possèdeune solution
unique x ;onnote x = g(y);
• ou bien l’équation f (x) = y n’a aucunesolution ;
on choisitalors un élément quelconque de E, a,
et on pose a = g(y).
g ainsi définie est une application de F dans E
puisque tout élément de F possède une uniqueimage
dans E. Ellee st surjective, puisque tout élément de
E est l’imagep ar g d’au moins un élémentd e F
(son image par f )( Doc. 11).
Réciproquement, supposonsq u’il existe une surjection h de F dans E, et considérons un élément x
de E :l ’équation h(y) = x possède au moinsu ne
solution (Doc. 12). Choisissons alors l’une de ces solutions y 0 , et posons y 0 = k(x). k ainsi définie est
une application de E dans F puisquetout élément
de E possèdeu ne unique image dans F . Elle est
injective,eneffet k(x) = k(x
) = y 0 entraîne que x
et x
sont images par h d’unmême élément de F :
x = x
= h(y 0 ).
F
y
x
E f
a
g
Doc. 11
y 0
x
E
F
Doc. 12
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