COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
4 Injectivité et surjectivité
4.1 • Équation
Soit f unea pplication d’un ensemble E dans un ensemble F . On appelle
équation une égalité de la forme f (x) = y, où y est un élément fixé de F ;
on appelle solution de l’équation tout élément x de E qui vérifie cette égalité,
autrement dit tout antécédent de y par f .
Une équation peut avoir une solution unique, par exemple :3 x=1d eRdans R ;
plusieurssolutions, par exemple : x
2
= 1d eRdans R ;une infinité de solutions,
par exemple : |x| = −x de R dans R ;ouencore aucune solution, par exemple :
x
2
= −1d eRdans R.
4.2 • Applicationinjective
Soit f uneapplication d’un ensemble E dans un ensemble F . On dit que f
est injective (ou que c’est une injection)sipour tout y ∈ F , l’équation f (x) = y
admet au plus une solution x dans E.
Àl’aide de quantificateurs, l’injectivité de f s’écrit:
∀(x,x
)∈E
2
f(x)=f(x
) ⇒ x=x
Exemples :
1) Id E est injective.
2) Touteapplication de ∅ dans F est injective.
3) L’application
R + → R
x
→ x
2
est injective.
Théorème 2
1) La composée de deux injections estune injection.
2) Si la composée g ◦f est injective, f est injective.
Démonstration
Soit E, F , G trois ensembles, f une application de E dans F , et g une
application de F dans G.
1) Supposons f et g injectives. Soit (x, x
) ∈ E
2
telque g ◦f (x) = g ◦f (x
),
c’est-à-dire g
f (x)
= g
f (x
)
. Du fait de l’injectivitéd e g, f( x)=f( x
) ,
et, du fait de l’injectivité de f , x = x
. Donc g ◦ f est injective.
2) Supposons g ◦f injective. Soit (x, x
) ∈ E
2
tel que f (x) = f (x
). On aalors
g ◦f (x) = g ◦f (x
)e t, du fait de l’injectivité de g ◦ f , x = x
. f est donc
injective.
4.3 • Application surjective
Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F . On dit que f est
surjective (ou que c’est une surjection)sipour tout y ∈ F l’équation f (x) = y
admet toujours une solution x dans E.
Àl’aide de quantificateurs, la surjectivité de f s’écrit:
∀y∈F ∃x∈Ef ( x ) = y
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