Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
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3.2 • Composition des applications
Soit E, F , G troise nsembles, f une application de E dans F et g une
application de F dans G. On appelle application composée de f et g l’application de E dans G qui àunélément x de E faitcorrespondre l’image par
g de l’image par f de x.
E
F
✲
g ◦ f
fg
G
Doc. 10 Composée d’applications.
On note cette application g ◦f (Doc. 10). Attention àl ’ordre qui peut paraître
paradoxal, mais qui est en fait trèscommode, en effet :
∀x ∈ Eg ◦ f ( x ) = g [ f ( x )]
Exemples :f◦Id E = f ;I d F ◦ f = f .
Théorème 1
Si E, F , G, H sont quatre ensembles et f , g, h trois applications
appartenant respectivementà F(E,F), F(F,G), F(G,H):
h ◦ ( g ◦ f)=( h ◦ g ) ◦ f
Démonstration
Les deux applications h◦ (g ◦f )e t( h ◦ g ) ◦ f ont le même ensemble de départ :
E, le même ensemble d’arrivée : H , et :
∀x ∈ Eh ◦ ( g ◦ f )(x)=h
g[f(x)]
= (h◦ g)◦f (x)
Ces deux applications sontdonc égales.
3.3 • Familled’éléments d’un ensemble
IMPORTANT
La notion de famillen’est donc pasdifférente de celle d’application, il s’agit
seulementd ’utiliser des indices pour
représenter les images. Par exemple,
une suite numérique estu ne famille
de nombresréels indexée par N,c’està-dire une applicationdeNdans R.
On appelle famille d’éléments d’un ensemble E indexéepar un ensemble I , une
application de I dans E notée :
I → E
i
→ x i
On peut identifier le produit cartésien E × E avec l’ensemble des familles d’éléments de E indexées par l’ensemble {1,2}, et plusgénéralement le produit cartésien E
n
avec l’ensemble des familles d’éléments de E indexées par {1, ··· ,n}.
Par analogie, quel que soit l’ensemble I , on note E
I
l’ensemble des familles
d’élémentsd e E indexées par I , ou, ce qui revient au même, l’ensemble des
applications de I dans E.
On peut généraliser aux familles de parties d’un ensemble E les notionsd’intersection et de réunion :
i ∈ I
A i = { x ∈ E , ∀i ∈ Ix ∈ A i }
i ∈ I
A i = { x ∈ E , ∃ i ∈ Ix ∈ A i }
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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