COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
3 Application d’un ensemble
dans un autre
3.1 • Définition
EF
Doc. 9 Application de E dans F .
Soit E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F la donnée
des ensembles E, F , et d’une partie Γ de E × F telle que pour tout élément
x de E il existe un élément y et un seul de F tel que (x, y) ∈ Γ (Doc. 9).
• E est appelé ensemble de départ de l’application.
• F est appelé ensemble d’arrivée de l’application.
• Γ est appelé graphe de l’application.
• y est appelé image de x parl’application. Si on désigne l’application par f ,
on écrit y = f (x).
• x est un antécédent de y par l’application (mais ce n’est pas forcément le
seul...).
Notation :
E →
f
F
x
→ f (x)
Remarque :Ladonnée des ensembles Ee tF fait partie de la définitiondel’application. Ainsi, deux applications sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de
départ,même ensemble d’arrivée et même graphe.Par exemple, les applications :
R → R
x
→ x
2
et
R + → R +
x
→ x
2
sont différentes :elles n’ont pas du tout lesmêmes propriétés (parité, croissance...).
Exemples généraux
• Applicationidentique de E :
E →
Id E E
x
→ x
• Injection canonique de E dans F (E ⊂ F ):
E →
j E F
x → x
• Projections :
E × F →
p 1 E
(x, y) → x
E × F →
p 2 F
(x, y) → y
• Restriction de f àune partie A de E :
A →
f | A
F
x
→ f (x)
On ditque f estunprolongement de g si g est une restriction de f .
L’ensemble des applications de E dans F est noté F (E, F )o um ieux F
E
.
(Cette notation sera expliquéeplus loin àpropos de la notion de famille.)
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