Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
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2.3 • Propriétés
Les propriétéssuivantes sont faciles àétablir. Leurs démonstrations sont laissées au
lecteur. Pour toutesparties A, B, C d’un ensemble E :
• A ∩ B = B ∩ A ;
• A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );
• A∪B = B∪A;
• A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
• AB = BA;
• C E (A∩B) = C E A∪C E B;
• A∩(B∩C) = (A∩B)∩C ; • C E (A∪B) = C E A∩C E B;
• A∪(B∪C) = (A∪B)∪C ; • A ⊂ B
⇐⇒
C E B ⊂ C E A ;
• A ( B C ) = ( A B ) C ;
• A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ⊂ C E B ⇐⇒ B ⊂ C E A (les parties A et B sont
dites disjointes).
APPLICATION 1
Démontrer une inclusion
Soit A, B, Ct rois parties d’un même ensemble E. Démontrer que:
(A∩B)∪(C∩C E A)
⊂ (A∩C E C)∪(C E A∩C E B)∪(B∩C)
Soit x un élément de (A ∩ B) ∪ (C ∩ C E A).
x appartient au moinsàl’un des deux ensembles
A ∩ B ou C ∩ C E A :
E
A
B
C
Doc. 8
• Si x ∈ A ∩ B :
–s oit x ∈ C , alors x ∈ B ∩ C ;
–s oit x ∈ C , alors x ∈ A ∩ C E C .
• Si x ∈ C ∩ C E A :
–s oit x ∈ B, alors x ∈ B ∩ C ;
–s oit x ∈ B, alors x ∈ C E A ∩ C E B.
Dans tous les cas :
x ∈ (A ∩ C E C ) ∪ (C E A ∩ C E B) ∪ (B ∩ C ).
Par exemple :l’ensemble des hommes àl unettes et
des femmes non fumeuses est inclus dans l’ensemble
des hommes fumeurs, des femmes sans lunettes et des
non-fumeurs àlunettes.
Pours’entraîner :ex. 4à7
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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