COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
Par exemple, si E = {a, b, c} :
P(E) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E }
Remarque :L’ensemble P(∅) n’est pasvide, puisqu’il contient l’élément ∅. C’est
un singleton : P(∅) = {∅}.
2.2 • Opérations dans P(E)
Soit E un ensemble et A, B deux parties de E. On peut définir de nouvelles
parties de E par les opérations suivantes :
Complémentaire
E
A
Doc. 3 Complémentaire.
C E A estl’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A (équivalent
ensembliste de la négation) (Doc. 3) :
∀x ∈ Ex ∈ C E A ⇐⇒ x ∈ A
Exemple :
C R {0} = R
∗
.
Intersection
E
A
B
Doc. 4 Intersection.
A ∩ B est l’ensemble des éléments appartenant àlafois à A et à B (équivalent
ensembliste de la conjonction) (Doc. 4) :
∀x ∈ Ex ∈ A ∩ B
⇐⇒
x ∈ A et x ∈ B
Exemple :
R + ∩ R − = {0}
Réunion
E
A
B
Doc. 5 Réunion.
A ∪ B est l’ensemble de tous les éléments appartenant à A ou à B (équivalent
ensemblistedeladisjonction) (Doc. 5) :
∀x ∈ Ex ∈ A ∪ B
⇐⇒
x ∈ A ou x ∈ B
Exemple :
R + ∪ R − = R.
Différence
E
A
B
Doc. 6 Différence.
A\B est l’ensemble des éléments de E qui appartiennentà A mais pas à B
(équivalent ensembliste de la négationdel’implication) (Doc. 6) :
A\B = A ∩ C E B
Exemple:
R + \R − =R
∗
+ .
Différence symétrique
E
A
B
Doc. 7 Différence symétrique.
A B estl ’ensemble des éléments de E quia ppartiennent soit à A soità B,
mais pas aux deux àl af ois (équivalent ensembliste de la disjonction exclusive)
(Doc. 7) :
A B = (A ∪ B)\(A ∩ B)
Exemple: R + R − =R
∗
.
150