Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
8
1.5 • Négation d’uneproposition
On note P la négation de la proposition P, c’est-à-dire la proposition qui est
vraiesi P est fausse, et faussesi P est vraie. Notons que :
P ou Q
⇐⇒
P et Q
P et Q
⇐⇒
P ou Q
ÀRETENIR
Si la proposition P estf ausse, l’implication P ⇒ Q est nécessairement
vraie.
D’autrepart, comme l’implication P ⇒ Q signifie : P ou Q, sa négation est :
P ⇒ Q
⇐⇒
( P et Q)
Notons par ailleurs que :
(P ⇒ Q)
⇐⇒
( Q ⇒ P )
C’est la contraposée de l’implication;elle peut parfois être plus facile àdémontrer
que l’implication elle-même. C’est le principe du raisonnement par l’absurde :on
suppose le contraire de ce que l’on veut démontrer, et on cherche unecontradiction
avecl’une des hypothèses.
1.6 • Négation d’une proposition avec des quantificateurs
La proposition ∀x ∈ E , P(x)s ignifie que tous les éléments de E vérifient la
propriété P(x);sa négation est qu’il en existe au moins un qui ne la vérifie pas :
∀x ∈ E , P(x)
⇐⇒
∃ x ∈ E , P ( x )
La proposition ∃x ∈ E , P(x)s ignifie qu’au moins un élément de E vérifiela
propriété P(x);sa négation est qu’aucun d’entre eux ne la vérifie :
∃x ∈ E , P(x)
⇐⇒
∀ x ∈ E , P ( x )
Ceci permet de former très facilement la négation d’une proposition exprimée à
l’aide de quantificateurs. Par exemple, une fonction f est dite bornée sur R si :
∃m ∈ R ∃M ∈ R ∀x ∈ R f (x) m et f (x) M
On en déduit que f n’est pas bornée sur R si et seulement si :
∀m ∈ R ∀M ∈ R ∃x ∈ R f (x) < m ou f (x) > M
Pour s’entraîner :ex. 2et3
2 Ensemble des parties d’un ensemble
2.1 • Ensemble P(E)
Tous les sous-ensembles d’un ensemble E constituent un nouvel ensemble, appelé
ensemble desparties de E et noté P(E). Ainsi :
A ∈P(E)
⇐⇒
A ⊂ E
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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1.5 • Négation d’uneproposition
On note P la négation de la proposition P, c’est-à-dire la proposition qui est
vraiesi P est fausse, et faussesi P est vraie. Notons que :
P ou Q
⇐⇒
P et Q
P et Q
⇐⇒
P ou Q
ÀRETENIR
Si la proposition P estf ausse, l’implication P ⇒ Q est nécessairement
vraie.
D’autrepart, comme l’implication P ⇒ Q signifie : P ou Q, sa négation est :
P ⇒ Q
⇐⇒
( P et Q)
Notons par ailleurs que :
(P ⇒ Q)
⇐⇒
( Q ⇒ P )
C’est la contraposée de l’implication;elle peut parfois être plus facile àdémontrer
que l’implication elle-même. C’est le principe du raisonnement par l’absurde :on
suppose le contraire de ce que l’on veut démontrer, et on cherche unecontradiction
avecl’une des hypothèses.
1.6 • Négation d’une proposition avec des quantificateurs
La proposition ∀x ∈ E , P(x)s ignifie que tous les éléments de E vérifient la
propriété P(x);sa négation est qu’il en existe au moins un qui ne la vérifie pas :
∀x ∈ E , P(x)
⇐⇒
∃ x ∈ E , P ( x )
La proposition ∃x ∈ E , P(x)s ignifie qu’au moins un élément de E vérifiela
propriété P(x);sa négation est qu’aucun d’entre eux ne la vérifie :
∃x ∈ E , P(x)
⇐⇒
∀ x ∈ E , P ( x )
Ceci permet de former très facilement la négation d’une proposition exprimée à
l’aide de quantificateurs. Par exemple, une fonction f est dite bornée sur R si :
∃m ∈ R ∃M ∈ R ∀x ∈ R f (x) m et f (x) M
On en déduit que f n’est pas bornée sur R si et seulement si :
∀m ∈ R ∀M ∈ R ∃x ∈ R f (x) < m ou f (x) > M
Pour s’entraîner :ex. 2et3
2 Ensemble des parties d’un ensemble
2.1 • Ensemble P(E)
Tous les sous-ensembles d’un ensemble E constituent un nouvel ensemble, appelé
ensemble desparties de E et noté P(E). Ainsi :
A ∈P(E)
⇐⇒
A ⊂ E
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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