COURS 8
Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
Exemple :
{x ∈ R , x > 0e tx < 0 } = ∅ .
Un ensemble qui possède un unique élément estappelé singleton.Ilnefaut pas
confondre l’élément x et le singleton {x}. On peut par exemple écrire :2∈N
ou {2}⊂N, mais pas l’inverse.
1.3 • Produitcartésien
0
123
x
1
2
y
M (1 ,2 )
√
√ 2
Doc. 2 Produitcartésien R
2 .
Soit E et F deux ensembles. On peut construire un nouvel ensemble appelé
produitcartésien de E et F , noté E × F , dontles éléments sont les couples
formés d’un élément de E et d’unélément de F .
(x, y) ∈ E × F
⇐⇒
( x ∈ E et y ∈ F )
Si E = F , on note E × E = E
2
, E × E × E = E
3
etc.
Par exemple :( 1 ,
√ 2) ∈ R
2
. L’ensemble R
2
peut être identifié àunplan muni
d’un repère cartésien, le couple (x, y)é tant représenté par le point de coordonnées
x et y (Doc. 2).
1.4 • Quantificateurs
ÀRETENIR
∀x ∈ ∅, P(x)
esttoujours vrai.
∃x ∈ ∅, P(x)
est toujours faux.
Soit P(x)u ne proposition dépendant d’un élément x d’un certain ensemble E.
La proposition ∀x ∈ E , P(x)s ignifie que tout élément x de E vérifie la
proposition P(x).
∀x ∈ E , P(x)
⇐⇒
{ x ∈ E , P ( x ) } = E
La proposition ∃x ∈ E , P(x)s ignifie qu’il existe au moins un élément x de
E qui vérifielaproposition P(x).
∃x ∈ E , P(x)
⇐⇒
{ x ∈ E , P ( x ) }} =∅
Remarque :SiEest l’ensemble vide, il résulte de la définition quel ap roposition
∀x ∈ ∅ , P(x) est toujours vraie, tandis quelaproposition ∃x ∈ ∅ , P(x) est
toujours fausse. Cette remarque est très utile pour trancher des cas litigieux dans des
définitions ou desthéorèmes. Par exemple, nous verrons en analyse qu’une partie Id e
R est un intervallesi:
∀(x,y)∈I
2
∀z∈R xzy = ⇒ z∈I
L’ensemble vide est-il un intervalle ?O ui, sans ambiguïté, puisque cette proposition
commence par ∀(x, y) ∈ ∅...
L’ordre des quantificateurs peut avoir une grande importance. Par exemple, l’ensemble des nombres rationnels peut être caractérisé par :
∀x ∈ Q ∃q ∈ N
∗
qx ∈ Z
(q est le dénominateur d’une fraction représentant x). Maisl ap roposition
∃q ∈ N
∗
∀x ∈ Q qx ∈ Z
estabsurde, puisqu’elle exprime l’existence d’un
dénominateur commun àt outes les fractions... (Dans le premier cas, q dépend
de x, ce qui est impossibledans le second cas puisqu’il estcité avant.)
Cependant, on peut permuter deux quantificateurs de même naturep uisque
∀x ∈ E ∀y ∈ F peut s’écrire ∀(x, y) ∈ E × F et ∃x ∈ E ∃y ∈ F
peut s’écrire ∃(x, y) ∈ E × F .
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Vocabulairerelatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
Exemple :
{x ∈ R , x > 0e tx < 0 } = ∅ .
Un ensemble qui possède un unique élément estappelé singleton.Ilnefaut pas
confondre l’élément x et le singleton {x}. On peut par exemple écrire :2∈N
ou {2}⊂N, mais pas l’inverse.
1.3 • Produitcartésien
0
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x
1
2
y
M (1 ,2 )
√
√ 2
Doc. 2 Produitcartésien R
2 .
Soit E et F deux ensembles. On peut construire un nouvel ensemble appelé
produitcartésien de E et F , noté E × F , dontles éléments sont les couples
formés d’un élément de E et d’unélément de F .
(x, y) ∈ E × F
⇐⇒
( x ∈ E et y ∈ F )
Si E = F , on note E × E = E
2
, E × E × E = E
3
etc.
Par exemple :( 1 ,
√ 2) ∈ R
2
. L’ensemble R
2
peut être identifié àunplan muni
d’un repère cartésien, le couple (x, y)é tant représenté par le point de coordonnées
x et y (Doc. 2).
1.4 • Quantificateurs
ÀRETENIR
∀x ∈ ∅, P(x)
esttoujours vrai.
∃x ∈ ∅, P(x)
est toujours faux.
Soit P(x)u ne proposition dépendant d’un élément x d’un certain ensemble E.
La proposition ∀x ∈ E , P(x)s ignifie que tout élément x de E vérifie la
proposition P(x).
∀x ∈ E , P(x)
⇐⇒
{ x ∈ E , P ( x ) } = E
La proposition ∃x ∈ E , P(x)s ignifie qu’il existe au moins un élément x de
E qui vérifielaproposition P(x).
∃x ∈ E , P(x)
⇐⇒
{ x ∈ E , P ( x ) }} =∅
Remarque :SiEest l’ensemble vide, il résulte de la définition quel ap roposition
∀x ∈ ∅ , P(x) est toujours vraie, tandis quelaproposition ∃x ∈ ∅ , P(x) est
toujours fausse. Cette remarque est très utile pour trancher des cas litigieux dans des
définitions ou desthéorèmes. Par exemple, nous verrons en analyse qu’une partie Id e
R est un intervallesi:
∀(x,y)∈I
2
∀z∈R xzy = ⇒ z∈I
L’ensemble vide est-il un intervalle ?O ui, sans ambiguïté, puisque cette proposition
commence par ∀(x, y) ∈ ∅...
L’ordre des quantificateurs peut avoir une grande importance. Par exemple, l’ensemble des nombres rationnels peut être caractérisé par :
∀x ∈ Q ∃q ∈ N
∗
qx ∈ Z
(q est le dénominateur d’une fraction représentant x). Maisl ap roposition
∃q ∈ N
∗
∀x ∈ Q qx ∈ Z
estabsurde, puisqu’elle exprime l’existence d’un
dénominateur commun àt outes les fractions... (Dans le premier cas, q dépend
de x, ce qui est impossibledans le second cas puisqu’il estcité avant.)
Cependant, on peut permuter deux quantificateurs de même naturep uisque
∀x ∈ E ∀y ∈ F peut s’écrire ∀(x, y) ∈ E × F et ∃x ∈ E ∃y ∈ F
peut s’écrire ∃(x, y) ∈ E × F .
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