Vocabulaire relatif aux ensembles, auxapplications et aux relations
COURS
8
1 Ensembles
1.1 • Ensemblesetéléments
La notion d’ensemble estune notion première que nous ne chercherons donc pas
àd éfinir. Disons seulement qu’un ensemble est un objet auquel peut appartenir
ou ne pasappartenir un autre objet.
On note :
x ∈ E pour « x appartient à E »
x
∈ E pour « x n’appartientpas à E »
On appelle élément de l’ensemble E un objetqui appartient à E.
On ne peut pas cependant considérer n’importe quelle collection d’objets comme
un ensemble sous peine d’aboutir àdes contradictions, comme le montre le paradoxe suivant dû au mathématicien anglais Bertrand Russel (1902).
Paradoxe de Russel
IMPORTANT
Ce paradoxe est parfois présenté sous
formei magée parl ’histoire d’un barbier qui se propose de raser tous les
hommes quin es er asent pas euxmêmes et seulement ceux-là. Le barbier doit-ilseraser lui-même ?
Un ensemble peut être ou non élément de lui-même. Supposons que l’on puisse
définir l’ensemble E de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes.
Cet ensemble E est-il élément de lui-même ?
• si E ∈ E, il ne satisfaitpas àladéfinition, donc E
∈ E ;
• si E
∈ E, il satisfait àladéfinition, donc E ∈ E...
Pouréchapper àcetype de contradiction, il convient de respecter des règles précises
pour définirdes ensembles. Certains ensembles sont définis de façon axiomatique
(par exemple N).D ’autres peuvent être construits àp artir de ceux-là àl ’aide
d’opérations convenables (pare xemple Z, Q, R, C...). Le but de la théorie des
ensembles(que nous n’aborderons pas) est de valider les opérations qui ne risquent
pas de conduire àdes contradictions.
1.2 • Sous-ensembles
E
F
X
X
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
Doc. 1 Sous-ensemble.
Soit E et F deux ensembles. On dit que F est inclus dans E si tout élément
de F est élément de E.
On note F ⊂ E. On dit aussi que F est un sous-ensemble ou une partie de E
(Doc. 1).
Exemple :
N ⊂ Z.
Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils ontexactement les mêmes éléments,
c’est-à-dire si chacun est inclus dansl’autre :
E = F
⇐⇒
( E ⊂ F et F ⊂ E )
Un sous-ensemble de E peut être défini comme l’ensemble des éléments de E
vérifiantune certaine proposition.
Exemple:
R + ={x∈R , x0}.
En particulier, si cette proposition estimpossible, on obtient l’ensemble vide,qui
doit donc être considéréc omme un sous-ensemble de n’importe quel ensemble.
On le note ∅.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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1 Ensembles
1.1 • Ensemblesetéléments
La notion d’ensemble estune notion première que nous ne chercherons donc pas
àd éfinir. Disons seulement qu’un ensemble est un objet auquel peut appartenir
ou ne pasappartenir un autre objet.
On note :
x ∈ E pour « x appartient à E »
x
∈ E pour « x n’appartientpas à E »
On appelle élément de l’ensemble E un objetqui appartient à E.
On ne peut pas cependant considérer n’importe quelle collection d’objets comme
un ensemble sous peine d’aboutir àdes contradictions, comme le montre le paradoxe suivant dû au mathématicien anglais Bertrand Russel (1902).
Paradoxe de Russel
IMPORTANT
Ce paradoxe est parfois présenté sous
formei magée parl ’histoire d’un barbier qui se propose de raser tous les
hommes quin es er asent pas euxmêmes et seulement ceux-là. Le barbier doit-ilseraser lui-même ?
Un ensemble peut être ou non élément de lui-même. Supposons que l’on puisse
définir l’ensemble E de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes.
Cet ensemble E est-il élément de lui-même ?
• si E ∈ E, il ne satisfaitpas àladéfinition, donc E
∈ E ;
• si E
∈ E, il satisfait àladéfinition, donc E ∈ E...
Pouréchapper àcetype de contradiction, il convient de respecter des règles précises
pour définirdes ensembles. Certains ensembles sont définis de façon axiomatique
(par exemple N).D ’autres peuvent être construits àp artir de ceux-là àl ’aide
d’opérations convenables (pare xemple Z, Q, R, C...). Le but de la théorie des
ensembles(que nous n’aborderons pas) est de valider les opérations qui ne risquent
pas de conduire àdes contradictions.
1.2 • Sous-ensembles
E
F
X
X
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
Doc. 1 Sous-ensemble.
Soit E et F deux ensembles. On dit que F est inclus dans E si tout élément
de F est élément de E.
On note F ⊂ E. On dit aussi que F est un sous-ensemble ou une partie de E
(Doc. 1).
Exemple :
N ⊂ Z.
Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils ontexactement les mêmes éléments,
c’est-à-dire si chacun est inclus dansl’autre :
E = F
⇐⇒
( E ⊂ F et F ⊂ E )
Un sous-ensemble de E peut être défini comme l’ensemble des éléments de E
vérifiantune certaine proposition.
Exemple:
R + ={x∈R , x0}.
En particulier, si cette proposition estimpossible, on obtient l’ensemble vide,qui
doit donc être considéréc omme un sous-ensemble de n’importe quel ensemble.
On le note ∅.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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