Géométrie élémentaire de l’espace
EXERCICES
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9 L’espace est rapporté au repère (O,, i, j, k). Soit D
la droite représentéeparamétriquement par :
⎧
⎨
⎩
x = 1+2λ
y=−2+3λ
z=3+λ
Déterminer par son équation cartésienne le plan P contenant la droite D et le point A(0, −1, 4).
10 Soit D et D
deux droites fixes non coplanaires et
non orthogonalesd el ’espace. Une droite variable Δ est
perpendiculaire à D en M et rencontre D
en M
.
On désigne par Φ l’angle des plans (D, M
)e t( D
, M ) .
Montrer que le produit MM
tan Φ reste constant lorsque
M décrit D.
11 L’espace est rapporté àu nr epère orthonormé
(O,, i, j, k).
Déterminer l’ensemble E des pointsé quidistants des
droites :
D 1
x = 0
z = 0
et
D 2
y = 0
z = 1
Tracer les intersections de E avec les trois plansd e
coordonnées.
Montrer que par tout point de E il passe deux droites
incluses dans E.
12
∗
1) Soit D 1 et D 2 deux droites non coplanaires de
l’espace.É tudier l’ensemble décrit par le milieu d’un segment[ M 1 M 2 ]o ùM 1 ∈D 1 et M 2 ∈ D 2 .
2) Soit D 1 , D 2 , D 3 troisd roites non coplanaires deux
àdeux et non parallèles àunmême plan. Démontrer qu’il
existe un pointu nique A de E qui pour tout couple
(i, j) ∈ [[ 1 , 3]]
2
tel que i = j, A soit le milieu d’un
segmentjoignant un point de D i et un pointde D j .
Sphères
13 L’espace est rapporté àu nr epère orthonormé
(O,, i, j, k). Àt out réel t, on associe le point M (t)d e
coordonnées :
x(t) = cos t +
√ 3sin t +1 y(t)=cos t −
√ 3sin t +1
z(t)=−2cos t +1
Montrer que lorsque t décrit ] − π, π], le point M (t)
décrit un cercle dont on déterminera le plan, le centre et le
rayon.
14 L’espace est rapporté àu nr epère orthonormé
(O,, i, j, k). On considère les points A(a, 0, 0), B(0, b, 0)
et C(0, 0, c). Calculer le rayonducercle circonscrit au triangle ABC .
(On pourra utiliser la sphère circonscriteà OABC ).
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