Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Si on oriente l’espace, on oriente du même coup tous les
plans de l’espace.
b) Le produitvectoriel de deux vecteurs est le même quelle
que soitl’orientation choisie de l’espace.
c) Pour tous vecteurs u et v de l’espace :
( u · v)
2
+ u ∧ v
2
= u
2
v
2
.
d) Le déterminant de trois vecteurs esti ndépendant de
l’ordredeces vecteurs.
e) On peut représenter une droite de l’espace par une équationdelaforme ax + by + cz + d = 0.
f) Étant donné deuxd roites non parallèles D et D
, il
existe unedroite et une seuleperpendiculaire àlafois à D
et à D
.
g) L’intersection d’une sphère et d’un plan est un cercle, un
singleton ou l’ensemble vide.
Repérage dans l’espace
2 La Terre étant assimiléeàune sphère de centre O de
rayon R, calculer la distance àlasurface de la Terre entre
deux points A et A
, de latitudes λ, λ
et de longitudes ϕ, ϕ
(attention, contrairementàla colatitude des
coordonnées sphériques, la latitude est mesurée àpartir de
l’équateur).
Indication :Calculer le produit scalaire
−→
OA ·
−−→
OA
.
Application:Calculer la distance de Paris (48
◦
52
N,
2
◦
20
E) àR io de Janeiro (22
◦
53
S, 43
◦
12
W). On
prendra R = 6380 km.
Produit scalaire, produit vectoriel,
produit mixte
3 Montrer que pour tous vecteurs u,, v,, w de l’espace :
( u ∧ v)∧ w +( v∧ w)∧ u+( w∧ u)∧ v= 0
4 Montrer que pour tous vecteurs a, b,, c et d de l’espace :
1)
a ∧ b
·
c ∧ d
=
a · c a · d
b · c b · d
2)
a ∧ b
∧
c ∧ d
=
a,, c, d
b −
b,, c, d
a
=
a, b, d
c −
a, b,, c
d
5 Soit x 1 , x 2 , x 3 trois vecteurs de l’espace.
1) Démontrer que :
[ x 1 ∧x 2 , x 2 ∧x 3 , x 3 ∧x 1 ] = [x 1 , x 2 , x 3 ]
2
2) On supposeque x 1 , x 2 , x 3 ne sont pas coplanaires, et on
pose :
x
1 =
x 2 ∧x 3
[x 1 , x 2 , x 3 ]
; x
2 =
x 3 ∧x 1
[x 1 , x 2 , x 3 ]
; x
3 =
x 1 ∧x 2
[x 1 , x 2 , x 3 ]
a) Calculer les produits scalaires mutuels x
i · x j pourtout
(i, j) ∈ [[ 1 , 3]]
2
.
b) Montrer que [x
1 , x
2 , x
3 ] =
1
[x 1 , x 2 , x 3 ]
.
Droitesetplans de l’espace
6 Soit A, B, C trois points non alignés de l’espace
et O un point n’appartenant pas au plan (ABC ). Soit A
,
B
, C
less ymétriques de O parr apport aux milieux
de [BC ], [CA]e t[ AB]. Montrerque les droites (AA
),
(BB
)e t( CC
)s ont concourantes.
7 Soit A, B et C trois points non alignés de l’espace.
Soit u un vecteur n’appartenant pas àladirection du plan
(ABC ). On considèretrois points A
, B
et C
définis
par :
−→
AA
= α u ,
−→
BB
= β u ,
−−→
CC
= γ u
où (α, β, γ) ∈ R
∗3
.
Montrerq ue les trois plans (A
BC ), (B
AC )e t( C
AB)
sontparallèles àune même droite si et seulement si :
1
α
+
1
β
+
1
γ
= 0
8 L’espace estrapporté au repère (O,, i, j, k). On considèreles plans P, P
, P
d’équations respectives :
P :
ax + y + z +1=0
P
: x+ay + z + a = 0
P
: x + y + az + b = 0
Déterminer les réels a et b pour que l’intersection de ces
troisplans soit une droite. Donner alors une représentation
paramétrique de cettedroite.
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1 Vraioufaux ?
a) Si on oriente l’espace, on oriente du même coup tous les
plans de l’espace.
b) Le produitvectoriel de deux vecteurs est le même quelle
que soitl’orientation choisie de l’espace.
c) Pour tous vecteurs u et v de l’espace :
( u · v)
2
+ u ∧ v
2
= u
2
v
2
.
d) Le déterminant de trois vecteurs esti ndépendant de
l’ordredeces vecteurs.
e) On peut représenter une droite de l’espace par une équationdelaforme ax + by + cz + d = 0.
f) Étant donné deuxd roites non parallèles D et D
, il
existe unedroite et une seuleperpendiculaire àlafois à D
et à D
.
g) L’intersection d’une sphère et d’un plan est un cercle, un
singleton ou l’ensemble vide.
Repérage dans l’espace
2 La Terre étant assimiléeàune sphère de centre O de
rayon R, calculer la distance àlasurface de la Terre entre
deux points A et A
, de latitudes λ, λ
et de longitudes ϕ, ϕ
(attention, contrairementàla colatitude des
coordonnées sphériques, la latitude est mesurée àpartir de
l’équateur).
Indication :Calculer le produit scalaire
−→
OA ·
−−→
OA
.
Application:Calculer la distance de Paris (48
◦
52
N,
2
◦
20
E) àR io de Janeiro (22
◦
53
S, 43
◦
12
W). On
prendra R = 6380 km.
Produit scalaire, produit vectoriel,
produit mixte
3 Montrer que pour tous vecteurs u,, v,, w de l’espace :
( u ∧ v)∧ w +( v∧ w)∧ u+( w∧ u)∧ v= 0
4 Montrer que pour tous vecteurs a, b,, c et d de l’espace :
1)
a ∧ b
·
c ∧ d
=
a · c a · d
b · c b · d
2)
a ∧ b
∧
c ∧ d
=
a,, c, d
b −
b,, c, d
a
=
a, b, d
c −
a, b,, c
d
5 Soit x 1 , x 2 , x 3 trois vecteurs de l’espace.
1) Démontrer que :
[ x 1 ∧x 2 , x 2 ∧x 3 , x 3 ∧x 1 ] = [x 1 , x 2 , x 3 ]
2
2) On supposeque x 1 , x 2 , x 3 ne sont pas coplanaires, et on
pose :
x
1 =
x 2 ∧x 3
[x 1 , x 2 , x 3 ]
; x
2 =
x 3 ∧x 1
[x 1 , x 2 , x 3 ]
; x
3 =
x 1 ∧x 2
[x 1 , x 2 , x 3 ]
a) Calculer les produits scalaires mutuels x
i · x j pourtout
(i, j) ∈ [[ 1 , 3]]
2
.
b) Montrer que [x
1 , x
2 , x
3 ] =
1
[x 1 , x 2 , x 3 ]
.
Droitesetplans de l’espace
6 Soit A, B, C trois points non alignés de l’espace
et O un point n’appartenant pas au plan (ABC ). Soit A
,
B
, C
less ymétriques de O parr apport aux milieux
de [BC ], [CA]e t[ AB]. Montrerque les droites (AA
),
(BB
)e t( CC
)s ont concourantes.
7 Soit A, B et C trois points non alignés de l’espace.
Soit u un vecteur n’appartenant pas àladirection du plan
(ABC ). On considèretrois points A
, B
et C
définis
par :
−→
AA
= α u ,
−→
BB
= β u ,
−−→
CC
= γ u
où (α, β, γ) ∈ R
∗3
.
Montrerq ue les trois plans (A
BC ), (B
AC )e t( C
AB)
sontparallèles àune même droite si et seulement si :
1
α
+
1
β
+
1
γ
= 0
8 L’espace estrapporté au repère (O,, i, j, k). On considèreles plans P, P
, P
d’équations respectives :
P :
ax + y + z +1=0
P
: x+ay + z + a = 0
P
: x + y + az + b = 0
Déterminer les réels a et b pour que l’intersection de ces
troisplans soit une droite. Donner alors une représentation
paramétrique de cettedroite.
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