Géométrie élémentaire de l’espace
La tangente au point de paramètre θ est dirigée par le vecteur dérivée
première :
− →
V
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
( θ ) = R cos θ cos φ(θ) − Rφ
(θ)sin θ sin φ(θ)
y
(θ) = R cos θ sin φ(θ)+Rφ
(θ)sin θ cos φ(θ)
z
(θ) = −R sin θ
Le carrédelanorme de ce vecteur est :
− →
V
2
= x
( θ )
2
+ y
( θ )
2
+ z
( θ )
2
= R
2
1+φ
(θ)
2
sin
2 θ
Considérer de même le méridien comme
unecourbe paramétrée et chercher sa tangente.
Le méridien de longitude ϕ est représenté paramétriquement par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x 1 (θ) = R sin θ cos ϕ
y 1 (θ) = R sin θ sin ϕ
z 1 (θ) = R cos θ
θ ∈ ]0, π[
(où ϕ est constant).
La tangente au pointd ep aramètre θ est dirigéep ar le vecteur dérivée
première :
− →
U
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
1 ( θ ) = R cos θ cos ϕ
y
1 (θ) = R cos θ sin ϕ
z
1 (θ) = −R sin θ
Le carré de la norme de ce vecteurest :
− →
U
2
= x
1 ( θ )
2
+ y
1 ( θ )
2
+ z
1 ( θ )
2
= R
2
Le produit scalaire des vecteurs
− →
U et
− →
V est :
− →
U ·
− →
V = x
( θ ) x
1 ( θ )+y
(θ)y
1 (θ)+z
(θ)z
1 (θ)=R
2
Calculer le cosinus de l’angle que font en
un pointlaloxodromie et le méridien.
Exprimons que l’angle (
− →
U ,
− →
V )e st constant et égal à α :
cos(
− →
U ,
− →
V ) =
− →
U ·
− →
V
− →
U
− →
V
= cos α
1
1+φ (θ) 2 sin 2 θ
= cos α
d’où, pour α ∈ ]0,
π
2
[:
1+φ
(θ)
2
sin
2 θ =
1
cos 2 α
= 1+tan
2 α
d’où en définitive, pour θ ∈ ]0, π[:
φ
( θ )=±
tan α
sin θ
b) On vérifie aisément que la dérivée de θ
→ ln tan
θ
2
est bien θ
→
1
sin θ
.
On en déduit une équation d’une loxodromie :
ϕ = ϕ 0 + ε tan α ln tan
θ
2
où ε = ±1
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