Géométrie élémentaire de l’espace
2 En pratique, cetitinéraire est difficile àcalculer et lesnavigateurs préfèrent suivre un cap constant, quitte àchanger ce
cap àintervalles réguliers (par exemple chaque jour pour un navire, ou chaque heure pour un avion). On appelle loxodromie
une courbe de la sphère quicoupe chaque méridien (ligne ϕ = C
te
) suivantunangle constant α. On veut représenter une
loxodromie par uneéquation de la forme ϕ = φ(θ), où φ est unefonction dérivable sur ]0, π[.
a) Calculer la dérivée φ
(θ).
b) En déduire φ(θ) (on vérifiera que θ
→ ln tan
θ
2
est uneprimitive de θ
→
1
sin θ
).
c) Quedevient la loxodromie lorsqu’on s’approche d’un pôle ?
d) Une carte Mercator représenteenabscisse la longitude ϕ, et en ordonnées une fonction de la latitude λ =
π
2
− θ, calculée
de façon qu’une loxodromie soit représentée sur la cartepar unedroite. Quelle doit être cette fonction ?Quel est l’intérêt d’une
carte Mercator ?Permet-elle de trouver le plus court chemin entre deux points ?Permet-elle de représenter lesrégions polaires ?
Conseils
Solution
Chercher d’abord une équation cartésienne du plan P.
1) La sphère estreprésentée en coordonnées sphériques par:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x=R sin θ cos ϕ
y = R sin θ sin ϕ
z = R cos θ
Le plan P passe par O et il estdirigé parles vecteurs u(cos ϕ 0 , sin ϕ 0 , 0)
et v(− sin ϕ 0 sin θ 0 , cos ϕ 0 sin θ 0 , cos θ 0 ); il ad onc pour équation cartésienne :D et(
−−→
OM ,, u,, v) = 0, soit :
x cos ϕ 0 − sin ϕ 0 sin θ 0
y sin ϕ 0
cos ϕ 0 sin θ 0
z
0c os θ 0
= 0
cos θ 0 sin ϕ 0 x − cos θ 0 cos ϕ 0 y +sin θ 0 z = 0
On peut simplifier par R, quie st non
nul.
L’orthodromie, intersectiondelasphère et du plan estdonc l’ensemble des
points vérifiant :
cos θ 0 sin ϕ 0 (sin θ cos ϕ) − cos θ 0 cos ϕ 0 (sin θ sin ϕ)+sin θ 0 (cos θ) = 0
c’est-à-dire :
cos θ 0 sin θ (sin ϕ 0 cos ϕ − cos ϕ 0 sin ϕ)+sin θ 0 cos θ = 0
cos θ 0 sin θ sin(ϕ 0 − ϕ)+sin θ 0 cos θ = 0
En excluant lesc as θ 0 =
π
2
(c’est-à-dire que le cercle cherché estu n
méridien), et θ =
π
2
(intersection du cercle cherché avec l’équateur), on
peut simplifier l’équation de l’orthodromie:
sin(ϕ − ϕ 0 )t an θ = tan θ 0
Considérer la loxodromie comme une
courbe paramétrée et chercher sa tangente.
2) a) La loxodromie estreprésentée paramétriquement par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(θ) = R sin θ cos φ(θ)
y(θ) = R sin θ sin φ(θ)
z(θ) = R cos θ
θ ∈ ]0, π[
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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2 En pratique, cetitinéraire est difficile àcalculer et lesnavigateurs préfèrent suivre un cap constant, quitte àchanger ce
cap àintervalles réguliers (par exemple chaque jour pour un navire, ou chaque heure pour un avion). On appelle loxodromie
une courbe de la sphère quicoupe chaque méridien (ligne ϕ = C
te
) suivantunangle constant α. On veut représenter une
loxodromie par uneéquation de la forme ϕ = φ(θ), où φ est unefonction dérivable sur ]0, π[.
a) Calculer la dérivée φ
(θ).
b) En déduire φ(θ) (on vérifiera que θ
→ ln tan
θ
2
est uneprimitive de θ
→
1
sin θ
).
c) Quedevient la loxodromie lorsqu’on s’approche d’un pôle ?
d) Une carte Mercator représenteenabscisse la longitude ϕ, et en ordonnées une fonction de la latitude λ =
π
2
− θ, calculée
de façon qu’une loxodromie soit représentée sur la cartepar unedroite. Quelle doit être cette fonction ?Quel est l’intérêt d’une
carte Mercator ?Permet-elle de trouver le plus court chemin entre deux points ?Permet-elle de représenter lesrégions polaires ?
Conseils
Solution
Chercher d’abord une équation cartésienne du plan P.
1) La sphère estreprésentée en coordonnées sphériques par:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x=R sin θ cos ϕ
y = R sin θ sin ϕ
z = R cos θ
Le plan P passe par O et il estdirigé parles vecteurs u(cos ϕ 0 , sin ϕ 0 , 0)
et v(− sin ϕ 0 sin θ 0 , cos ϕ 0 sin θ 0 , cos θ 0 ); il ad onc pour équation cartésienne :D et(
−−→
OM ,, u,, v) = 0, soit :
x cos ϕ 0 − sin ϕ 0 sin θ 0
y sin ϕ 0
cos ϕ 0 sin θ 0
z
0c os θ 0
= 0
cos θ 0 sin ϕ 0 x − cos θ 0 cos ϕ 0 y +sin θ 0 z = 0
On peut simplifier par R, quie st non
nul.
L’orthodromie, intersectiondelasphère et du plan estdonc l’ensemble des
points vérifiant :
cos θ 0 sin ϕ 0 (sin θ cos ϕ) − cos θ 0 cos ϕ 0 (sin θ sin ϕ)+sin θ 0 (cos θ) = 0
c’est-à-dire :
cos θ 0 sin θ (sin ϕ 0 cos ϕ − cos ϕ 0 sin ϕ)+sin θ 0 cos θ = 0
cos θ 0 sin θ sin(ϕ 0 − ϕ)+sin θ 0 cos θ = 0
En excluant lesc as θ 0 =
π
2
(c’est-à-dire que le cercle cherché estu n
méridien), et θ =
π
2
(intersection du cercle cherché avec l’équateur), on
peut simplifier l’équation de l’orthodromie:
sin(ϕ − ϕ 0 )t an θ = tan θ 0
Considérer la loxodromie comme une
courbe paramétrée et chercher sa tangente.
2) a) La loxodromie estreprésentée paramétriquement par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(θ) = R sin θ cos φ(θ)
y(θ) = R sin θ sin φ(θ)
z(θ) = R cos θ
θ ∈ ]0, π[
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