Géométrie élémentaire de l’espace
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour exprimer que deux vecteurs sont orthogonaux,onécrit que leur produit scalaire estnul.
Pour exprimer que deux vecteurs sont colinéaires,onécrit que leur produit vectoriel est nul.
Pour exprimer que trois vecteurs sont coplanaires,onécrit que leur produit mixte est nul.
Pour représenter une droite, on choisit un point A et un vecteur u(α, β, γ)n on nul et on écrit :
M ∈ D
⇐⇒
−−→
AM = t u
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = x A + α t
y = y A + β t
z = z A + γ t
( cf. exercice 12.)
Pour représenter un plan, on peut :
• choisir un point A et deuxvecteurs non colinéaires u,, vet écrire :
M ∈ P
⇐⇒
Det(
−−→
AM ,, u,, v) = 0
(cf. exercice 9.)
• choisir un point A et un vecteurnormal n(a, b, c), et écrire :
M ∈ P
⇐⇒
−−→
AM · n = 0
⇐⇒
ax + by + cz + d = 0
Poure xprimer que trois plans sont parallèles àu ne même droite, on écrit que leurs vecteurs normaux sont
coplanaires.
(cf. exercices 7et8.)
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Exercice résolu
ORTHODROMIES ET LOXODROMIES D’UNE SPHÈRE
O
x
0
0
y
z
u
!
v
!
Doc. 22
1 Nous admettrons qu’à la surface d’une sphère de centre Od er ayon R,
le plus court chemin entre deux points est un arc de grandc ercle, c’est-à-dire
d’un cercle de centre Op assant par ces deux points (Doc. 22). En navigation,
maritime ou aérienne, cette route idéale est appelée orthodromie.Ondemande
de représenteru ne orthodromie en coordonnées sphériques, par une équation
reliantlalongitude ϕ et la colatitude θ. On prendra l’intersection de la sphère
avec un plan Pf aisant un angle θ 0 avec l’axe (Oz), et dont l’intersection
avec le plan (xOy) fait un angle ϕ 0 avec (Ox).
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