Géométrie élémentaire de l’espace
COURS
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6.3 • Intersection d’une sphère et d’un plan
H
P
Doc. 21 Intersection d’unesphère et
d’un plan.
Soit S unes phère de centre Ω, de rayon R, et P un plan, H le projeté
orthogonal de Ω sur P (Doc. 21).
L’intersection S∩P dépend de la distance ΩH = d(Ω, P):
• si d(Ω, P) > R : S∩P=∅.
• si d(Ω, P) = R, S∩P={H} : P est tangent à S.
(ΩH ) ⊥ P :l eplan tangent àune sphère est orthogonal au rayon correspondant.
• si d(Ω, P) < R, S∩P est le cercle Γ du plan P, de centre H et de rayon
R 2 − ΩH 2 : P est sécantà S.
APPLICATION 5
Équation du plantangent àune sphère en un point donné
L’espace étantrapporté àunrepère orthonormal, soit S
unesphèredecentre Ω(a, b, c), de rayon R, et H =
(x 0 , y 0 , z 0 ) un point de S. Uneéquation cartésienne de
la sphère S est: x
2
+y
2
+z
2
−2ax −2by −2cz +d = 0,
où d = a
2
+ b
2
+ c
2
− R
2
. Déterminer uneé quation
du plan Pt angent à S en H .
P est le plan passant par H , de vecteurnormal
−→
Ω H ;
pour tout point M (x, y, z):
M∈P ⇐⇒
−→
Ω H ·
−−→
HM = 0
⇐⇒ ( x 0 − a )(x − x 0 )
+(y 0 −b)(y − y 0 )
+(z 0 −c)(z − z 0 ) = 0
C’est-à-dire :
x 0 x + y 0 y + z 0 z
− ax − by − cz − x
2
0 − y
2
0 − z
2
0
+ ax 0 + by 0 + cz 0 = 0
Comme H ∈S :
x
2
0 +y
2
0 +z
2
0 −2ax 0 − 2by 0 − 2cz 0 + d = 0
on peutécrire :
x 0 x + y 0 y + z 0 z
− a(x + x 0 ) − b(y + y 0 )
− c(z + z 0 )+d =0
L’équation du plan tangent en H à S est obtenue à
partir de cellede S en «dédoublant »les termes x
2
,
y
2
, z
2
en x 0 x, y 0 y, z 0 z et 2ax, 2by, 2cz en
a(x + x 0 ), b(y + y 0 ), c(z + z 0 ).
Pour s’entraîner :ex. 13, 14
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