COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
D
0
D
M
0
M
H
H
0
n
!
Doc. 17 Distance de deux droites.
La perpendiculairec ommune (Doc. 17) permet de calculer la distanced es deux
droites, c’est-à-dire le minimumd el ad istance d’un point de D àu np oint de
D
:e neffet, quels que soient les points M et M
appartenant respectivement
à D et D
, on peut écrire :
−− −→
MM
2
= (
−−→
MH +
−−→
HH
+
−− −→
H
M
)
2
=
−−→
HH
2
+(
−−→
MH +
−− −→
H
M
)
2
−−→
HH
2
Le minimum de la distance MM
est donc atteint pour M = H et M
= H
.
D
0
D
H
H
0
A
0
A
u u 0
!!
u
!
u 0
!
Doc. 18 Expression de la distance de
deux droites.
On aalors :
Det( u,, u
,
−→
AA
) = Det( u,, u
,
−→
AH +
−−→
HH
+
−−→
H
A
) = Det( u,, u
,
−−→
HH
) = ( u∧
u )·
−−→
HH
Les vecteurs u∧
u et
−−→
HH
étant colinéaires (Doc. 18) :
Det( u,, u
,
−→
AA
)
= u ∧
u
−−→
HH
D’où :
d(D, D
) =
−−→
HH
=
Det( u,, u
,
−→
AA
)
u ∧
u
Pour s’entraîner :ex. 10
6 Sphères
6.1 • Équation cartésienne d’une sphère
M
Doc. 19 Sphère.
L’espace est rapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j, k). La sphère S de centre
Ω(a, b, c), de rayon R (Doc. 19) est l’ensemble des points M (x, y, z)t els que
−−→
Ω M
2
= R
2
;e lle adonc pour équation :
(x − a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
=R
2
C’est-à-dire :
x
2
+ y
2
+ z
2
− 2ax − 2by − 2cz + d = 0o ùd = a
2
+ b
2
+ c
2
− R
2
6 . 2 • Intersection d’une sphère et d’une droite
Doc. 20 Intersection d’une sphère et
d’unedroite
Soit S une sphère de centre Ω, de rayon R, et D une droite quelconque de
l’espace. Désignons par H le projeté orthogonal de Ω sur D (Doc. 20). Pour
toutpoint M de D : ΩM
2
= ΩH
2
+ HM
2
. Ce point appartient aussi à S si
et seulementsi: HM
2
= R
2
− ΩH
2
.
L’intersection S∩D dépend donc de la distance ΩH = d(Ω, D):
• si d(Ω, D) > R : S∩D=∅.
• si d(Ω, D) = R, S∩D={H} : D est tangente à S.
(ΩH ) ⊥ D :l atangente àune sphère estorthogonale au rayon correspondant.
• si d(Ω, D) < R, S∩D={ A ,B} , où A et B sont les deux points de D
tels que HA = HB =
R 2 − d(Ω, D) 2 : D estsécante à S.
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