Géométrie élémentaire de l’espace
COURS
7
Calculons cette distance dansunrepère orthonormal (O,, i, j, k). Le plan P est
déterminé par un point A(x A , y A , z A )e tunvecteurnormal n(a, b, c). Il apour
équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
On a:
−−→
AM · n = (
−→
AH +
−−→
HM ) · n =
−−→
HM · n = ±±
−−→
HM n
On en déduit :
d(M , P) =
−−→
AM · n
n
Or
−−→
AM · n = a(x − x A )+b(y−y A )+c(z−z A )=ax + by + cz + d, d’où :
d(M , P) =
|ax + by + cz + d|
√ a 2 + b 2 + c 2
Si le plan P est donné par un point et deuxvecteurs non colinéaires u et v, on
peut orienter l’espace et choisir pour vecteur normal : n = u ∧ v :
d(M , P) =
−−→
AM · ( u ∧ v)
u ∧ v
=
Det(
−−→
AM ,, u,, v)
u ∧ v
5.5• Distance d’un point àune droite de l’espace
Doc. 15 Distance d’un point àune
droite.
L’espace ests upposé orienté. Soit une droite D définiep ar un point A et un
vecteurd irecteur u. Soit M un pointq uelconque de l’espace et H le projeté
orthogonalde M sur D (Doc. 15).
On peutécrire :
−−→
AM =
−→
AH +
−−→
HM , d’où
−−→
AM ∧ u =
−−→
HM ∧ u
−−→
AM ∧ u =
−−→
HM u , d’où :
d(M , D) =
−−→
AM ∧ u
u
Pour s’entraîner :ex. 11
5.6 • Perpendiculaire commune àdeux droites
L’espace ests upposé orienté. Soit D et D
deux droites de l’espace, chacune
définiep ar un point et un vecteur directeur : D = (A,, u); D
= (A
,, u
).
Montrons qu’il existe toujours une droite perpendiculaire à D et à D
, et que si
D et D
ne sont pas parallèles, cette perpendiculaire commune est unique.
Si D et D
sont parallèles, il existe dans le plan qui les contient une infinité de
droites perpendiculairesà D et D
.
D
0
D
H
H
0
u
!
u
!0
n
!
Doc. 16 Perpendiculaire commune.
Supposonsmaintenant D et D
non parallèles ;les vecteurs u et u
ne sont pas
colinéaires, et parconséquent le vecteur n = u ∧ u
est nonnul, et orthogonal à
D et à D
. La réunion des droites dirigées par le vecteur n rencontrant D est
un plan, qui est sécant avec D
en un point H
. Il existe donc uneunique droite
Δ dirigéepar n rencontrant D en un point H et D
en H
(Doc. 16).
Remarque :Siles droites De tD
sont sécantes, lespoints He tH
sont confondus.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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Calculons cette distance dansunrepère orthonormal (O,, i, j, k). Le plan P est
déterminé par un point A(x A , y A , z A )e tunvecteurnormal n(a, b, c). Il apour
équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
On a:
−−→
AM · n = (
−→
AH +
−−→
HM ) · n =
−−→
HM · n = ±±
−−→
HM n
On en déduit :
d(M , P) =
−−→
AM · n
n
Or
−−→
AM · n = a(x − x A )+b(y−y A )+c(z−z A )=ax + by + cz + d, d’où :
d(M , P) =
|ax + by + cz + d|
√ a 2 + b 2 + c 2
Si le plan P est donné par un point et deuxvecteurs non colinéaires u et v, on
peut orienter l’espace et choisir pour vecteur normal : n = u ∧ v :
d(M , P) =
−−→
AM · ( u ∧ v)
u ∧ v
=
Det(
−−→
AM ,, u,, v)
u ∧ v
5.5• Distance d’un point àune droite de l’espace
Doc. 15 Distance d’un point àune
droite.
L’espace ests upposé orienté. Soit une droite D définiep ar un point A et un
vecteurd irecteur u. Soit M un pointq uelconque de l’espace et H le projeté
orthogonalde M sur D (Doc. 15).
On peutécrire :
−−→
AM =
−→
AH +
−−→
HM , d’où
−−→
AM ∧ u =
−−→
HM ∧ u
−−→
AM ∧ u =
−−→
HM u , d’où :
d(M , D) =
−−→
AM ∧ u
u
Pour s’entraîner :ex. 11
5.6 • Perpendiculaire commune àdeux droites
L’espace ests upposé orienté. Soit D et D
deux droites de l’espace, chacune
définiep ar un point et un vecteur directeur : D = (A,, u); D
= (A
,, u
).
Montrons qu’il existe toujours une droite perpendiculaire à D et à D
, et que si
D et D
ne sont pas parallèles, cette perpendiculaire commune est unique.
Si D et D
sont parallèles, il existe dans le plan qui les contient une infinité de
droites perpendiculairesà D et D
.
D
0
D
H
H
0
u
!
u
!0
n
!
Doc. 16 Perpendiculaire commune.
Supposonsmaintenant D et D
non parallèles ;les vecteurs u et u
ne sont pas
colinéaires, et parconséquent le vecteur n = u ∧ u
est nonnul, et orthogonal à
D et à D
. La réunion des droites dirigées par le vecteur n rencontrant D est
un plan, qui est sécant avec D
en un point H
. Il existe donc uneunique droite
Δ dirigéepar n rencontrant D en un point H et D
en H
(Doc. 16).
Remarque :Siles droites De tD
sont sécantes, lespoints He tH
sont confondus.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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