COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
5.3 • Plan défini par un point et un vecteurnormal
Doc. 13 Vecteurnormal àunplan.
Choisissonsunrepère (O,, i, j, k)o rthonormal, et considérons le plan P passant
par le point A(x A , y A , z A )e to rthogonal au vecteur non nul n(a, b, c)( nest
appelé vecteurnormal à P)( Doc. 13).
Un point M de coordonnées (x, y, z)a ppartient au plan P si et seulement si :
−−→
AM · n = 0
c’est-à-dire :
a(x − x A )+b(y−y A )+c(z−z A )=0
On retrouve l’équation cartésienne de P : ax + by + cz + d = 0, où
d = −ax A − by A − cz A .
Réciproquement, toute équation de la forme ax + by + cz + d = 0, avec
(a, b, c)
= (0, 0, 0) représente un plan de vecteurnormal n(a, b, c).
APPLICATION 4
Équation d’unplan passant par trois points
L’espace estrapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j, k).
Déterminer une équation cartésienne du plan Pp assant
par lespoints A(1, 0, −2), B(0, 2, 1), C (−1, 1, 0).
Orientons l’espace en choisissant la base ( i, j, k)d irecte, et prenonspour vecteur normal à P le vecteur
n =
−→
AB ∧
−→
AC :
n =
⎛
⎝
−1
2
3
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
−2
1
2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1
−4
3
⎞
⎠
Un point M de coordonnées (x, y, z)a ppartient au
plan P si et seulement si :
−−→
AM · n = 0
c’est-à-dire :( x−1) − 4y +3(z+2)=0, soit :
x − 4y +3z+5=0
5.4• Distance d’un point àunplan
Doc. 14 Distance d’un point àunplan.
Soit P un plan. Pour toutpoint M de l’espace,onappelle distance de M à P
la plus petite distance entre M et un point de P. Elleest notée d(M , P).
Soit H le projetéo rthogonal de M sur P (Doc. 14). Pourt out point N de
P :
MN
2
= MH
2
+ HN
2
MH
2
Le minimumdeladistance MN est donc MH ;
d(M , P) = HM
Comme de plus, MN = MH
⇐⇒ HN = 0, ce minimum esta tteint
uniquement lorsque N = H .
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