Géométrie élémentaire de l’espace
COURS
7
Réciproquement, tout système de cette forme représente une droite,d ont on
connaîtunpoint A(x A , y A , z A )e tunvecteur directeur u(α, β, γ).
Remarque :Enlimitant lesvariations de t, on décrit unepartie de la droite D :
• t 0:demi-droite fermée d’origine Ad irigée par u ;
• t ∈ [0, 1] : segment [AB] où B = A + u( unique point tel que
−→
AB = u).
5.2 • Équation cartésienne d’un plan
Doc. 12 Repère d’un plan.
L’espace étant rapporté àu nr epère (O,, i, j, k), considérons le plan P passant
par le point A(x A , y A , z A )e td irigé par les vecteurs non colinéaires u(α, β, γ),
v(α
, β
, γ
)( Doc. 12). Un point M de coordonnées( x , y , z )a ppartient au plan
P si et seulements il es vecteurs
−−→
AM ,, u ,, vsont coplanaires, c’est-à-dire si
Det(
−−→
AM ,, u,, v) = 0, soit :
x − x A αα
y − y A ββ
z − z A γγ
= 0
ce qui équivaut à:
(βγ
− β
γ)(x − x A )+(γα
− γ
α)(y − y A )+(αβ
− α
β)(z − z A ) = 0
En posant : a = βγ
− β
γ, b = γα
− γ
α, c = αβ
− α
β et d = −(βγ
−
β
γ)x A − (γα
− γ
α)y A − (αβ
− α
β)z A , cetteéquation s’écrit :
ax + by + cz + d = 0
Elle estappelée équation cartésienne de P ;e lle caractérise l’appartenance d’un
pointà P, c’est-à-dire que :
M (x, y, z) ∈ P
⇐⇒
ax + by + cz + d = 0
Remarque :Nous vérifierons un peu plus loin la réciproque, c’est-à-dire quet oute
équation du type ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) = (0, 0, 0) représente un
plan. Il est important de noterqu’une telle équation ne représente JAMAIS une droite.
Une droite peut être définie comme l’intersection de deux plans sécants, donc par
un système de DEUX équations du type précédent. En résolvant ce système, on peut
calculer deux coordonnées en fonction de la troisième, ce qui revient àune représentation
paramétrique de la droite.
Exemple : Trouverune représentation paramétrique de la droite D, intersection
des plans d’équations cartésiennes x +2y−3z+1=0e t2 x− y+ z+2=0.
En résolvant le système en (x, y), où z est fixé, on obtient : x = 7z +1;
y=− 11z − 3. La droite D est donc définie paramétriquement par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = 1+7t
y=−3−11t
z = t
c’est-à-dire que D passepar le point A(1, −3, 0), et elle est dirigée par le vecteur
u(7, −11, 1).
Pour s’entraîner:ex. 7, 8, 9
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Réciproquement, tout système de cette forme représente une droite,d ont on
connaîtunpoint A(x A , y A , z A )e tunvecteur directeur u(α, β, γ).
Remarque :Enlimitant lesvariations de t, on décrit unepartie de la droite D :
• t 0:demi-droite fermée d’origine Ad irigée par u ;
• t ∈ [0, 1] : segment [AB] où B = A + u( unique point tel que
−→
AB = u).
5.2 • Équation cartésienne d’un plan
Doc. 12 Repère d’un plan.
L’espace étant rapporté àu nr epère (O,, i, j, k), considérons le plan P passant
par le point A(x A , y A , z A )e td irigé par les vecteurs non colinéaires u(α, β, γ),
v(α
, β
, γ
)( Doc. 12). Un point M de coordonnées( x , y , z )a ppartient au plan
P si et seulements il es vecteurs
−−→
AM ,, u ,, vsont coplanaires, c’est-à-dire si
Det(
−−→
AM ,, u,, v) = 0, soit :
x − x A αα
y − y A ββ
z − z A γγ
= 0
ce qui équivaut à:
(βγ
− β
γ)(x − x A )+(γα
− γ
α)(y − y A )+(αβ
− α
β)(z − z A ) = 0
En posant : a = βγ
− β
γ, b = γα
− γ
α, c = αβ
− α
β et d = −(βγ
−
β
γ)x A − (γα
− γ
α)y A − (αβ
− α
β)z A , cetteéquation s’écrit :
ax + by + cz + d = 0
Elle estappelée équation cartésienne de P ;e lle caractérise l’appartenance d’un
pointà P, c’est-à-dire que :
M (x, y, z) ∈ P
⇐⇒
ax + by + cz + d = 0
Remarque :Nous vérifierons un peu plus loin la réciproque, c’est-à-dire quet oute
équation du type ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) = (0, 0, 0) représente un
plan. Il est important de noterqu’une telle équation ne représente JAMAIS une droite.
Une droite peut être définie comme l’intersection de deux plans sécants, donc par
un système de DEUX équations du type précédent. En résolvant ce système, on peut
calculer deux coordonnées en fonction de la troisième, ce qui revient àune représentation
paramétrique de la droite.
Exemple : Trouverune représentation paramétrique de la droite D, intersection
des plans d’équations cartésiennes x +2y−3z+1=0e t2 x− y+ z+2=0.
En résolvant le système en (x, y), où z est fixé, on obtient : x = 7z +1;
y=− 11z − 3. La droite D est donc définie paramétriquement par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = 1+7t
y=−3−11t
z = t
c’est-à-dire que D passepar le point A(1, −3, 0), et elle est dirigée par le vecteur
u(7, −11, 1).
Pour s’entraîner:ex. 7, 8, 9
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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