COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
La fonction det calcule le déterminant de trois vecteurs
représentés parune matrice.
Or :
Det( i, j, k) = Det( j, k,, i) = Det( k,, i, j) = 1
Det( i, k, j) = Det( k, j,, i) = Det( j,, i, k) = −1
D’où :
Det( u,, v,, w)= xy
z
− xz
y
− yx
z
+ yz
x
+ zx
y
− zy
x
Notation :onécrit ce déterminant sous la forme :
Det( u,, v,, w) =
xx
x
yy
y
zz
z
APPLICATION 3
RègledeSarrus
Commentc alculer rapidement un déterminant d’ordre
3?
Il ya3termes affectés d’un signe +e t3termes affectés
d’un signe − :
xx
x
yy
y
zz
z
= xy
z
+ x
y
z + x
yz
− x
y
z − xy
z
− x
yz
Un moyen de retenir ce résultat est de recopier àdroite
les deux premières colonnes du déterminant. Les 3
termes affectés du signe +s ont les produits des coefficients d’une parallèle àl ad iagonale principale, et
les 3termes affectés du signe − sontles produits des
coefficientsd’une parallèle àladiagonale secondaire.
xx
x
xx
yy
y
yy
zz
z
zz
−−−
+++
5 Droites et plans
5.1 • Représentation paramétrique d’unedroite
de l’espace
Doc. 11 Repère d’unedroite.
L’espace étant rapporté àunrepère (O,, i, j, k), considérons la droite D passant
par le point A(x A , y A , z A )e tdirigée par le vecteur non nul u(α, β, γ)( Doc. 11).
Un point M de coordonnées (x, y, z)a ppartient àladroite D si et seulement
si
−−→
AM estcolinéaire à u, c’est-à-dire qu’ilexiste un réel t tel que
−−→
AM = t u,
soit :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = x A + α t
y = y A + β t
z = z A + γ t
La droite D estd écrite comme une courbe paramétrée ;c es ystème est appelé
représentation paramétrique de D.
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