Géométrie élémentaire de l’espace
COURS
7
Le signe du déterminant est celui du produit OD · OC 1 :
• positifsi
w est du même côté que u ∧ v parrapport au plan ( u,, v)( on dit
dans ce cas, par extension, que la base ( u,, v,, w)e st directe) ;
• négatifs i
w est du côté opposé à u ∧ v par rapport au plan ( u,, v)( on dit
dans ce cas, par extension, que la base ( u,, v,, w)e st rétrograde).
Si u,, vet
w sont coplanaires, leur déterminant est nul, tout comme le volume
du parallélépipède.Onpeut donc énoncer :
Le produitm ixte, ou déterminant, de trois vecteurs u,, vet
w est égal
au volume du parallélépipède qu’ils déterminent, affectéd ’un signe
correspondantàl’orientation du triplet ( u,, v,, w).
4.3• Antisymétrie
L’échanged ed eux vecteurs parmi u,, vet
w ne modifie pas le volume du
parallélépipède qu’ils déterminent, mais changeseulement le signe du déterminant :
Det( u,, v,, w) =−Det( v,, u,, w)
Det( u,, v,, w) =−Det( u,, w,, v)
Det( u,, v,, w) =−Det( w,, v,, u)
On dit que le produit mixte (ou déterminant) estantisymétrique.
IMPORTANT
Le déterminantdetrois vecteurs est invariantpar une permutation circulaire
de ces trois vecteurs.
En composantdeux de ces échanges, le signe reste invariant :
Det( u,, v,, w) =Det( v,, w,, u) = Det( w,, u,, v)
4.4• Trilinéarité
Le produitv ectoriel et le produit scalaire étant bilinéaires, il est clair que l’application :( u ,, v,, w) → Det( u,, v,, w)e st linéaire par rapport àc hacune des trois
variables ;ondit que le produit mixte (ou déterminant) est trilinéaire.
Pours’entraîner :ex. 4et5
4.5• Expression dans une base orthonormale directe
L’espace étant orienté, soit ( i, j, k)u ne base orthonormale directe, u,, v ,, w
trois vecteurs de coordonnées respectives :( x , y , z ) , ( x
, y
, z
)e t( x
, y
, z
).
Calculons le produit mixte de u,, v ,, w:
Det( u,, v,, w)= Det( x i + y j + z k , x
i + y
j + z
k , x
i + y
j + z
k )
Développons grâce àlatrilinéarité du produit mixte en éliminant tous les produits
mixtes où apparaît plus d’une fois le même vecteur de base :
Det( u,, v,, w) = xy
z
Det( i, j, k)+xz
y
Det( i, k, j)
+ yx
z
Det( j,, i, k)+yz
x
Det( j, k,, i)
+ zx
y
Det( k,, i, j)+zy
x
Det( k, j,, i)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
133
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7
Le signe du déterminant est celui du produit OD · OC 1 :
• positifsi
w est du même côté que u ∧ v parrapport au plan ( u,, v)( on dit
dans ce cas, par extension, que la base ( u,, v,, w)e st directe) ;
• négatifs i
w est du côté opposé à u ∧ v par rapport au plan ( u,, v)( on dit
dans ce cas, par extension, que la base ( u,, v,, w)e st rétrograde).
Si u,, vet
w sont coplanaires, leur déterminant est nul, tout comme le volume
du parallélépipède.Onpeut donc énoncer :
Le produitm ixte, ou déterminant, de trois vecteurs u,, vet
w est égal
au volume du parallélépipède qu’ils déterminent, affectéd ’un signe
correspondantàl’orientation du triplet ( u,, v,, w).
4.3• Antisymétrie
L’échanged ed eux vecteurs parmi u,, vet
w ne modifie pas le volume du
parallélépipède qu’ils déterminent, mais changeseulement le signe du déterminant :
Det( u,, v,, w) =−Det( v,, u,, w)
Det( u,, v,, w) =−Det( u,, w,, v)
Det( u,, v,, w) =−Det( w,, v,, u)
On dit que le produit mixte (ou déterminant) estantisymétrique.
IMPORTANT
Le déterminantdetrois vecteurs est invariantpar une permutation circulaire
de ces trois vecteurs.
En composantdeux de ces échanges, le signe reste invariant :
Det( u,, v,, w) =Det( v,, w,, u) = Det( w,, u,, v)
4.4• Trilinéarité
Le produitv ectoriel et le produit scalaire étant bilinéaires, il est clair que l’application :( u ,, v,, w) → Det( u,, v,, w)e st linéaire par rapport àc hacune des trois
variables ;ondit que le produit mixte (ou déterminant) est trilinéaire.
Pours’entraîner :ex. 4et5
4.5• Expression dans une base orthonormale directe
L’espace étant orienté, soit ( i, j, k)u ne base orthonormale directe, u,, v ,, w
trois vecteurs de coordonnées respectives :( x , y , z ) , ( x
, y
, z
)e t( x
, y
, z
).
Calculons le produit mixte de u,, v ,, w:
Det( u,, v,, w)= Det( x i + y j + z k , x
i + y
j + z
k , x
i + y
j + z
k )
Développons grâce àlatrilinéarité du produit mixte en éliminant tous les produits
mixtes où apparaît plus d’une fois le même vecteur de base :
Det( u,, v,, w) = xy
z
Det( i, j, k)+xz
y
Det( i, k, j)
+ yx
z
Det( j,, i, k)+yz
x
Det( j, k,, i)
+ zx
y
Det( k,, i, j)+zy
x
Det( k, j,, i)
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