COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
APPLICATION 2
Formule du double produit vectoriel
Montrer quepour tous vecteurs u,, v,, w :
( u∧ v)∧ w = ( u· w) v−( v· w) u
Il existe une base orthonormale directe dans laquelle
les coordonnées de u,, v,, w sont :
u = (a, 0, 0) v = (b, c, 0)
w = (d, e, f ).
u∧ v =
⎛
⎝
a
0
0
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
b
c
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
ac
⎞
⎠
( u∧ v)∧ w =
⎛
⎝
0
0
ac
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
d
e
f
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−ace
acd
0
⎞
⎠
( u ·
w) v − ( v ·
w) u = ad
⎛
⎝
b
c
0
⎞
⎠ − (bd + ce)
⎛
⎝
a
0
0
⎞
⎠
=
⎛
⎝
−ace
acd
0
⎞
⎠
D’où l’égalitécherchée.
Pour s’entraîner :ex. 3
4 Produitmixte ou déterminant de trois
vecteurs
4.1 • Définition
IMPORTANT
On peutaussi le noter [ u,, v,, w]
L’espace étant orienté, on appelle produitm ixte (ou déterminant)d es trois
vecteurs u,, v ,, wle réel :
Det( u,, v,, w)= ( u∧ v)· w
Remarque :Cette définition dépend de l’orientation choisie dans l’espace. Si on avait
choisi l’orientationcontraire, on aurait obtenu un produit mixte opposé pour les mêmes
vecteurs u,, ve t w .
Notons que Det( u,, v,, w) = 0s ie ts eulement si
w est orthogonalà u∧ v ,
c’est-à-dire si
w appartient àunplan contenant u et v :l edéterminant de trois
vecteurs est nul si et seulement si ces troisvecteurs sont coplanaires.
4.2 • Interprétation géométrique
uv
!!
D
O
A
B
C
C 1
Doc. 10 Produit mixte.
Supposons u,, vet
w non coplanaires. Soit O, A, B, C quatre points tels que :
u =
−→
OA,, v =
−→
OB,, w =
−→
OC, et D le point tel que u ∧ v =
−→
OD. Soit C 1 le
projetéorthogonal de C sur la droite (OD)( Doc. 10).Onpeut alors interpréter
géométriquement le produit scalaire de u ∧ v et
w :
Det( u,, v,, w) = OD · OC 1
En valeur absolue, c’est le produitdel’aire d’une face du parallélépipède construit
sur les vecteurs
−→
OA,
−→
OB,
−→
OC parl ah auteur correspondante ;c ’est donc le
volume de ce parallélépipède.
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