Géométrie élémentaire de l’espace
COURS
7
3.3 • Bilinéarité
v
!
u
!
P
v 1
!
v 2
!
uv
!!
π
2
+
Doc. 9 Linéaritéduproduit vectoriel
par rapport au deuxième vecteur.
Soit u un vecteurnon nul donné. Pour tout vecteur v de l’espace, on peut obtenir
le produit vectoriel u ∧ v en composantles applications suivantes (Doc. 9) :
• projection sur un plan orthogonal à u, ce qui donneunvecteur v 1 de norme
v |sin( u,, v)| ;
• rotation d’angle +
π
2
dans ce plan orientép ar le vecteur normal u,
ce qui donne un vecteur v 2 de même norme directement orthogonal à
u et v ;
• homothétie de rapport u , ce qui donne un vecteur v 3 de norme
u v|sin( u,, v)| directement orthogonal à u et v, c’est-à-dire le vecteur
u ∧ v.
Ces trois applications sontl inéaires (voir Application 1). Il en résulte que l’application v
→ u ∧ v est linéaire,c omme composée d’applications linéaires. Ce
résultat restebien sûr valable si le vecteur u est nul.
Du fait de l’antisymétrie, pour tout vecteur v fixé, l’application u
→ u ∧ v est
également linéaire. Le produit vectoriel estdonc une application bilinéaire.
3.4 • Expression dans unebase orthonormale directe
La fonction crossP calcule le produit vectoriel de deux vecteurs représentés en ligne ou en colonne.
L’espace étant orienté, soit ( i, j, k)u ne base orthonormale directe, u,, vdeux vecteurs de coordonnées respectives :( x , y , z )
et (x
, y
, z
). Calculons le produit vectoriel de u et v :
u ∧ v = (x i + y j + z k) ∧ (x
i + y
j + z
k)
On peut développer grâce àlabilinéarité du produit vectoriel en
éliminant tous les produits d’un vecteurdebase par lui-même :
u ∧ v = xy
i ∧ j + xz
i ∧ k + yx
j ∧ i + yz
j ∧ k + zx
k ∧ i + zy
k ∧ j
et utiliser les relations :
i ∧ j = − j ∧ i = k ; j ∧ k = − k ∧ j = i ; k ∧ i = − i ∧ k = j
d’où :
u ∧ v = (yz
− y
z) i +(zx
− z
x) j +(xy
− x
y) k
soit, en utilisant la notation des déterminants de 2vecteurs :
u ∧ v =
yy
zz
i +
zz
xx
j +
xx
yy
k
Remarque :Attention au signe de la deuxième coordonnée. On passe d’une coordonnée
àlasuivante par une permutation circulaire sur les lettres x, ye tz .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3.3 • Bilinéarité
v
!
u
!
P
v 1
!
v 2
!
uv
!!
π
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+
Doc. 9 Linéaritéduproduit vectoriel
par rapport au deuxième vecteur.
Soit u un vecteurnon nul donné. Pour tout vecteur v de l’espace, on peut obtenir
le produit vectoriel u ∧ v en composantles applications suivantes (Doc. 9) :
• projection sur un plan orthogonal à u, ce qui donneunvecteur v 1 de norme
v |sin( u,, v)| ;
• rotation d’angle +
π
2
dans ce plan orientép ar le vecteur normal u,
ce qui donne un vecteur v 2 de même norme directement orthogonal à
u et v ;
• homothétie de rapport u , ce qui donne un vecteur v 3 de norme
u v|sin( u,, v)| directement orthogonal à u et v, c’est-à-dire le vecteur
u ∧ v.
Ces trois applications sontl inéaires (voir Application 1). Il en résulte que l’application v
→ u ∧ v est linéaire,c omme composée d’applications linéaires. Ce
résultat restebien sûr valable si le vecteur u est nul.
Du fait de l’antisymétrie, pour tout vecteur v fixé, l’application u
→ u ∧ v est
également linéaire. Le produit vectoriel estdonc une application bilinéaire.
3.4 • Expression dans unebase orthonormale directe
La fonction crossP calcule le produit vectoriel de deux vecteurs représentés en ligne ou en colonne.
L’espace étant orienté, soit ( i, j, k)u ne base orthonormale directe, u,, vdeux vecteurs de coordonnées respectives :( x , y , z )
et (x
, y
, z
). Calculons le produit vectoriel de u et v :
u ∧ v = (x i + y j + z k) ∧ (x
i + y
j + z
k)
On peut développer grâce àlabilinéarité du produit vectoriel en
éliminant tous les produits d’un vecteurdebase par lui-même :
u ∧ v = xy
i ∧ j + xz
i ∧ k + yx
j ∧ i + yz
j ∧ k + zx
k ∧ i + zy
k ∧ j
et utiliser les relations :
i ∧ j = − j ∧ i = k ; j ∧ k = − k ∧ j = i ; k ∧ i = − i ∧ k = j
d’où :
u ∧ v = (yz
− y
z) i +(zx
− z
x) j +(xy
− x
y) k
soit, en utilisant la notation des déterminants de 2vecteurs :
u ∧ v =
yy
zz
i +
zz
xx
j +
xx
yy
k
Remarque :Attention au signe de la deuxième coordonnée. On passe d’une coordonnée
àlasuivante par une permutation circulaire sur les lettres x, ye tz .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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